Номер 23.12, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.12. Постройте квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов.

23.12. Постройте квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов.

Пусть даны два квадрата. Обозначим длины их сторон как $a$ и $b$. Площади этих квадратов равны $S_1 = a^2$ и $S_2 = b^2$ соответственно.

Требуется построить третий квадрат, площадь которого $S_3$ равна сумме площадей двух данных квадратов: $S_3 = S_1 + S_2 = a^2 + b^2$.

Если сторона искомого квадрата равна $c$, то его площадь $S_3 = c^2$. Таким образом, мы получаем соотношение: $c^2 = a^2 + b^2$.

Это равенство является формулировкой теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. Следовательно, задача сводится к построению отрезка длиной $c$, который является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны сторонам данных квадратов.

Построение выполняется следующим образом:

1. Начертим прямую линию и выберем на ней произвольную точку $A$.
2. С помощью циркуля и линейки построим прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через точку $A$.
3. На одной прямой от точки $A$ отложим отрезок $AB$, длина которого равна стороне первого квадрата ($AB = a$).
4. На другой (перпендикулярной) прямой от точки $A$ отложим отрезок $AC$, длина которого равна стороне второго квадрата ($AC = b$).
5. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком. В результате получим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$.
6. Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы $BC$ равен сумме квадратов длин катетов $AB$ и $AC$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 = a^2 + b^2$. Таким образом, длина отрезка $BC$ является длиной стороны искомого квадрата.
7. Построим квадрат на отрезке $BC$ как на стороне. Полученный квадрат и будет искомым, так как его площадь равна $BC^2 = a^2 + b^2$.

Ответ: Искомый квадрат строится на гипотенузе прямоугольного треугольника, катеты которого равны сторонам двух данных квадратов.