Номер 23.13, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.13 Стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Постройте квадрат, площадь которого равна площади данного прямоугольника.

23.13. Стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Постройте квадрат, площадь которого равна площади данного прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его площадь $S_{пр}$ равна произведению сторон: $S_{пр} = a \cdot b$. Требуется построить квадрат со стороной $x$, площадь которого $S_{кв} = x^2$ равна площади данного прямоугольника. Таким образом, должно выполняться равенство $S_{кв} = S_{пр}$, или $x^2 = a \cdot b$. Отсюда следует, что искомая сторона квадрата $x$ должна быть равна среднему геометрическому (среднему пропорциональному) длин сторон прямоугольника: $x = \sqrt{a \cdot b}$.

Следовательно, задача сводится к построению отрезка, длина которого равна среднему геометрическому двух данных отрезков $a$ и $b$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки.

Алгоритм построения:

1. Начертить произвольную прямую. Отметить на ней точку $A$.
2. От точки $A$ отложить отрезок $AB$, равный стороне $a$ прямоугольника.
3. От точки $B$ на той же прямой в том же направлении отложить отрезок $BC$, равный стороне $b$ прямоугольника. В результате получится отрезок $AC$ длиной $a+b$.
4. Найти середину отрезка $AC$. Обозначим ее точкой $O$. Это стандартное построение, которое выполняется с помощью циркуля и линейки (построение серединного перпендикуляра).
5. Построить полуокружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = OC = \frac{a+b}{2}$.
6. В точке $B$ (точка соединения отрезков $a$ и $b$) восстановить перпендикуляр к прямой $AC$.
7. Точку пересечения этого перпендикуляра с полуокружностью обозначить как $D$. Длина отрезка $BD$ будет равна искомой стороне квадрата $x$.
8. На отрезке $BD$ как на стороне построить квадрат. Это стандартная процедура, включающая построение перпендикуляров и откладывание отрезков равной длины.

Доказательство корректности построения:

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как он вписан в полуокружность, а одна из его сторон ($AC$) является диаметром, то угол $\angle ADC$, опирающийся на диаметр, является прямым ($\angle ADC = 90^\circ$). Следовательно, $\triangle ADC$ — прямоугольный треугольник.

Отрезок $BD$ по построению перпендикулярен гипотенузе $AC$, значит, $BD$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла $D$.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, проведенной к гипотенузе, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть:

$BD^2 = AB \cdot BC$

Поскольку по построению мы откладывали $AB=a$ и $BC=b$, получаем:

$BD^2 = a \cdot b$

Таким образом, длина отрезка $BD$ равна $x = \sqrt{a \cdot b}$. Площадь квадрата, построенного на стороне $BD$, будет равна $BD^2 = a \cdot b$, что равно площади исходного прямоугольника. Построение является верным.

Ответ: Искомый квадрат строится на отрезке, который является средним геометрическим сторон $a$ и $b$ данного прямоугольника. Алгоритм построения описан выше.