Номер 24.3, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.3. Стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см, а одна из высот равна: 1) 6 см; 2) 12 см. Найдите другую высоту параллелограмма. Сколько решений в каждом случае имеет задача?

24.3. Стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см, а одна из высот равна:

1) 6 см;

2) 12 см.

Найдите другую высоту параллелограмма. Сколько решений в каждом случае имеет задача?

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 10$ см и $b = 15$ см. Пусть $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$, а $h_b$ — высота, проведенная к стороне $b$.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить двумя способами: $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$. Отсюда следует равенство: $a \cdot h_a = b \cdot h_b$, или $10 \cdot h_a = 15 \cdot h_b$.

Важным свойством высоты в параллелограмме является то, что она не может быть больше смежной стороны (так как высота является катетом в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является смежная сторона). Следовательно, должны выполняться условия: $h_a \le b$ и $h_b \le a$. В нашем случае это означает: $h_a \le 15$ см и $h_b \le 10$ см.

1) Одна из высот равна 6 см.

Рассмотрим два возможных случая.

Первый случай: данная высота проведена к большей стороне ($b=15$ см), т.е. $h_b = 6$ см. Проверим, возможно ли это. Условие $h_b \le a$ должно выполняться: $6 \le 10$. Условие верно, значит, такой параллелограмм существует. Найдем вторую высоту $h_a$:
$10 \cdot h_a = 15 \cdot 6$
$10 \cdot h_a = 90$
$h_a = 9$ см.

Второй случай: данная высота проведена к меньшей стороне ($a=10$ см), т.е. $h_a = 6$ см. Проверим, возможно ли это. Условие $h_a \le b$ должно выполняться: $6 \le 15$. Условие верно, значит, такой параллелограмм тоже существует. Найдем вторую высоту $h_b$:
$10 \cdot 6 = 15 \cdot h_b$
$60 = 15 \cdot h_b$
$h_b = 4$ см.

Так как оба случая возможны, задача в этом пункте имеет два решения.

Ответ: другая высота равна 9 см или 4 см; задача имеет два решения.

2) Одна из высот равна 12 см.

Рассмотрим два возможных случая.

Первый случай: данная высота проведена к большей стороне ($b=15$ см), т.е. $h_b = 12$ см. Проверим, возможно ли это, используя условие $h_b \le a$: $12 \le 10$. Условие неверно. Следовательно, такой параллелограмм не существует.

Второй случай: данная высота проведена к меньшей стороне ($a=10$ см), т.е. $h_a = 12$ см. Проверим, возможно ли это, используя условие $h_a \le b$: $12 \le 15$. Условие верно, такой параллелограмм существует. Найдем вторую высоту $h_b$:
$10 \cdot 12 = 15 \cdot h_b$
$120 = 15 \cdot h_b$
$h_b = 8$ см.

Так как возможен только один случай, задача в этом пункте имеет одно решение.

Ответ: другая высота равна 8 см; задача имеет одно решение.