Номер 24.9, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.9. Стороны параллелограмма равны 14 см и 20 см, а угол между его высотами, проведёнными из вершины тупого угла, — $45^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

24.9. Стороны параллелограмма равны 14 см и 20 см, а угол между его высотами, проведёнными из вершины тупого угла, – $45^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 14$ см и $b = 20$ см. Обозначим острый угол параллелограмма как $\alpha$, а тупой — как $\beta$. Площадь параллелограмма можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.

В задаче указано, что угол между высотами, проведёнными из вершины тупого угла, равен $45^\circ$. Существует свойство, связывающее углы параллелограмма и угол между его высотами, проведенными из одной вершины. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма. Аналогично, угол между высотами, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Это можно доказать, рассмотрев четырехугольник, образованный двумя высотами и двумя сторонами параллелограмма. Пусть из вершины тупого угла $B$ параллелограмма $ABCD$ проведены высоты $BH$ на сторону $AD$ и $BK$ на сторону $CD$. В этом случае образуется четырехугольник $BHDK$, в котором углы $\angle BHD$ и $\angle BKD$ прямые (по определению высоты), а угол $\angle D$ является тупым углом параллелограмма ($\beta$). Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, откуда угол между высотами $\angle HBK = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \beta = 180^\circ - \beta$. Так как $\alpha + \beta = 180^\circ$, то $180^\circ - \beta = \alpha$. Таким образом, угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, действительно равен острому углу параллелограмма.

Поскольку по условию угол между высотами равен $45^\circ$, то острый угол параллелограмма $\alpha = 45^\circ$.

Теперь мы можем вычислить площадь параллелограмма:

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 14 \cdot 20 \cdot \sin(45^\circ)$

Так как значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$S = 14 \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 280 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 140\sqrt{2}$ (см²)

Ответ: $140\sqrt{2}$ см².