Номер 24.13, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.13. Стороны параллелограмма равны 9 см и 12 см, а сумма двух его неравных высот равна 14 см. Найдите площадь параллелограмма.

24.13. Стороны параллелограмма равны 9 см и 12 см, а сумма двух его неравных высот равна 14 см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, где $a = 9$ см и $b = 12$ см. Обозначим высоты, проведенные к этим сторонам, как $h_a$ и $h_b$ соответственно.

Из условия задачи известно, что сумма двух неравных высот равна 14 см:$h_a + h_b = 14$

Площадь параллелограмма ($S$) можно выразить двумя способами через его стороны и соответствующие высоты:$S = a \cdot h_a$$S = b \cdot h_b$

Поскольку оба выражения равны одной и той же площади, мы можем их приравнять:$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Подставим известные значения сторон в это равенство:$9 \cdot h_a = 12 \cdot h_b$

Из этого соотношения выразим одну высоту через другую. Разделим обе части на 3:$3 h_a = 4 h_b$$h_a = \frac{4}{3} h_b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($h_a$ и $h_b$):$\begin{cases}h_a + h_b = 14 \\h_a = \frac{4}{3} h_b\end{cases}$

Подставим выражение для $h_a$ из второго уравнения в первое:$\frac{4}{3} h_b + h_b = 14$

Решим полученное уравнение относительно $h_b$:$\frac{4}{3} h_b + \frac{3}{3} h_b = 14$$\frac{7}{3} h_b = 14$$h_b = 14 \cdot \frac{3}{7}$$h_b = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь найдем вторую высоту $h_a$:$h_a = 14 - h_b = 14 - 6 = 8$ см.

Наконец, вычислим площадь параллелограмма, используя любую из формул:$S = a \cdot h_a = 9 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 72 \text{ см}^2$

Для проверки можно использовать вторую пару стороны и высоты:$S = b \cdot h_b = 12 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 72 \text{ см}^2$

Ответ: $72 \text{ см}^2$.