Номер 24.11, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.11. Меньшая диагональ ромба равна $a$, а один из углов — $60^\circ$. Найдите площадь ромба.

24.11. Меньшая диагональ ромба равна $a$, а один из углов — $60^\circ$. Найдите площадь ромба.

Пусть дан ромб, у которого один из углов равен $60^\circ$. В ромбе противолежащие углы равны, а сумма соседних углов составляет $180^\circ$. Следовательно, углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$ и $120^\circ$.

Меньшая диагональ ромба лежит напротив меньшего (острого) угла. Проведем эту диагональ. Она делит ромб на два треугольника.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. Пусть стороны ромба равны $s$. Так как все стороны ромба равны, этот треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами $s$. Угол между этими сторонами — это острый угол ромба, который по условию равен $60^\circ$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Тогда каждый из углов при основании равен $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$.

Получается, что все три угла в этом треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. Таким образом, сторона ромба $s$ равна его меньшей диагонали, которая по условию равна $a$. Итак, $s = a$.

Теперь мы можем найти площадь ромба. Существует несколько способов.

Способ 1: Через сторону и угол

Площадь ромба можно вычислить по формуле $S = s^2 \cdot \sin \alpha$, где $s$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.

В нашем случае $s = a$ и $\alpha = 60^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$S = a^2 \cdot \sin 60^\circ = a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Способ 2: Через две диагонали

Мы знаем, что ромб состоит из двух равносторонних треугольников со стороной $a$. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Меньшая диагональ $d_1 = a$. Найдем большую диагональ $d_2$. Большая диагональ является суммой высот двух этих равносторонних треугольников. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Тогда большая диагональ $d_2 = 2h = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Площадь ромба по формуле $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a\sqrt{3}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$