Номер 24.7, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.7. Стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, его острый угол равен $\alpha$.

Найдите площадь параллелограмма.

24.7. Стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, его острый угол равен $\alpha$.

Найдите площадь параллелограмма.

Для нахождения площади параллелограмма ($S$) воспользуемся формулой, которая связывает длины двух его смежных сторон и синус угла между ними.

По условию задачи, стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а его острый угол равен $\alpha$.

Площадь параллелограмма вычисляется как произведение длин двух его смежных сторон на синус угла между ними. Формула имеет вид:$S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$.

Эту формулу можно вывести из более общей формулы площади параллелограмма: произведение его основания на высоту.

Пусть сторона $a$ будет основанием параллелограмма. Проведем из вершины, где сходятся стороны $a$ и $b$, высоту $h$ к основанию $a$. Эта высота, сторона $b$ и отрезок на основании образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является сторона $b$, а катетом, противолежащим углу $\alpha$, является высота $h$.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{b}$.

Из этого соотношения выразим высоту $h$:$h = b \cdot \sin \alpha$.

Теперь подставим полученное выражение для высоты в формулу площади параллелограмма $S = a \cdot h$:$S = a \cdot (b \sin \alpha) = ab \sin \alpha$.

Таким образом, площадь параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ и острым углом $\alpha$ между ними равна $ab \sin \alpha$.

Ответ: $S = ab \sin \alpha$.