Номер 24.2, страница 174 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.2. Площадь параллелограмма ABCD (рис. 24.5) равна S. Чему равна площадь закрашенной фигуры?

a

$S/4$

б

$2S/9$

в

$S/2$

г

$S/2$

д

$S/2$

Рис. 24.5

24.2. Площадь параллелограмма $ABCD$ (рис. 24.5) равна $S$. Чему равна площадь закрашенной фигуры?

а

б

в

г

д

Рис. 24.5

а

В параллелограмме ABCD проведены отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Эти отрезки делят параллелограмм на 4 равных по площади и по форме (конгруэнтных) малых параллелограмма. Закрашенная фигура является одним из этих четырех параллелограммов. Следовательно, ее площадь равна четверти от общей площади.
$S_{закраш.} = \frac{S}{4}$.
Ответ: $S/4$.

б

Стороны параллелограмма ABCD разделены на три равные части. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам параллелограмма. В результате исходный параллелограмм разбивается на $3 \times 3 = 9$ равных малых параллелограммов. Закрашенная фигура является одним из этих девяти параллелограммов. Следовательно, ее площадь равна одной девятой от общей площади.
$S_{закраш.} = \frac{S}{9}$.
Ответ: $S/9$.

в

Закрашенная фигура — это параллелограмм, образованный пересечением четырех отрезков, каждый из которых соединяет вершину исходного параллелограмма с серединой противолежащей стороны. Хотя на рисунке это не указано явно, стандартная интерпретация такой задачи предполагает, что отрезки соединяют вершины именно с серединами противолежащих сторон (вершина A с серединой BC, B с серединой CD, C с серединой DA и D с серединой AB). Площадь центрального параллелограмма, образованного при таком построении, всегда составляет одну пятую от площади исходного параллелограмма.
$S_{закраш.} = \frac{S}{5}$.
Ответ: $S/5$.

г

Закрашенная фигура — это четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон параллелограмма ABCD. Согласно теореме Вариньона, такой четырехугольник является параллелограммом, и его площадь равна половине площади исходного четырехугольника. Площадь закрашенной фигуры можно также найти, вычтя из площади S исходного параллелограмма площади четырех треугольников по углам. Площадь каждого из угловых треугольников равна $\frac{1}{8}S$. Например, для треугольника при вершине A: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{AB}{2}) \cdot (\frac{AD}{2}) \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{8} (AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)) = \frac{1}{8}S$. Суммарная площадь четырех треугольников равна $4 \cdot \frac{S}{8} = \frac{S}{2}$. Следовательно, площадь закрашенного параллелограмма равна $S_{закраш.} = S - \frac{S}{2} = \frac{S}{2}$.
Ответ: $S/2$.

д

Закрашенная фигура — это треугольник. Одна его сторона, AD, совпадает со стороной параллелограмма, а противолежащая вершина лежит на противоположной стороне BC. Основание этого треугольника (AD) равно основанию параллелограмма. Высота треугольника, проведенная к этому основанию, равна высоте параллелограмма, так как сторона BC параллельна стороне AD. Площадь параллелограмма: $S = AD \cdot h$. Площадь треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$. Таким образом, площадь закрашенного треугольника равна половине площади параллелограмма.
$S_{закраш.} = \frac{S}{2}$.
Ответ: $S/2$.