Номер 23.11, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.11. Из прямоугольника $ABCD$ вырезали прямоугольник $MNKF$ (рис. 23.9). Проведите прямую, которая разделит закрашенную фигуру на две равновеликие фигуры.

Рис. 23.9

23.11. Из прямоугольника $ABCD$ вырезали прямоугольник $MNKF$ (рис. 23.9). Проведите прямую, которая разделит закрашенную фигуру на две равновеликие фигуры.

Рис. 23.9

Для решения этой задачи воспользуемся свойством центрально-симметричных фигур. Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит ее площадь на две равные части (пополам). Прямоугольник является центрально-симметричной фигурой, и его центр симметрии находится в точке пересечения его диагоналей.

Обозначим площадь большого прямоугольника $ABCD$ как $S_{ABCD}$, а площадь малого (вырезанного) прямоугольника $MNKF$ как $S_{MNKF}$. Тогда площадь закрашенной фигуры $S_{фиг}$ равна разности их площадей: $S_{фиг} = S_{ABCD} - S_{MNKF}$.

Пусть $O_1$ — центр симметрии прямоугольника $ABCD$ (точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$), а $O_2$ — центр симметрии прямоугольника $MNKF$ (точка пересечения его диагоналей $MK$ и $NF$).

Проведем прямую $l$, проходящую через точки $O_1$ и $O_2$.

Поскольку прямая $l$ проходит через центр симметрии $O_1$ прямоугольника $ABCD$, она делит его на две равновеликие части, каждая площадью $\frac{S_{ABCD}}{2}$.

Аналогично, поскольку прямая $l$ проходит через центр симметрии $O_2$ прямоугольника $MNKF$, она делит его на две равновеликие части, каждая площадью $\frac{S_{MNKF}}{2}$.

Прямая $l$ делит закрашенную фигуру на две части. Каждая из этих частей представляет собой половину большого прямоугольника, из которой удалена соответствующая половина малого прямоугольника. Таким образом, площадь каждой из получившихся частей закрашенной фигуры будет равна:
$S_{часть} = \frac{S_{ABCD}}{2} - \frac{S_{MNKF}}{2} = \frac{1}{2}(S_{ABCD} - S_{MNKF}) = \frac{1}{2}S_{фиг}$.

Это означает, что прямая $l$ делит закрашенную фигуру на две фигуры равной площади.

Таким образом, для построения искомой прямой необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти центр прямоугольника $ABCD$, проведя его диагонали и отметив их точку пересечения $O_1$.
2. Найти центр прямоугольника $MNKF$, проведя его диагонали и отметив их точку пересечения $O_2$.
3. Провести прямую через точки $O_1$ и $O_2$.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через центры симметрии (точки пересечения диагоналей) обоих прямоугольников.