Номер 23.5, страница 171 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.5. Докажите, что если точка $E$ — середина отрезка $AK$ (рис. 23.8), то треугольник $AKD$ и прямоугольник $ABCD$ равновелики.

Рис. 23.8

23.5. Докажите, что если точка $E$ — середина отрезка $AK$ (рис. 23.8), то треугольник $AKD$ и прямоугольник $ABCD$ равновелики.

Рис. 23.8

Для того чтобы доказать, что треугольник $AKD$ и прямоугольник $ABCD$ равновелики, необходимо показать, что их площади равны.

Площадь прямоугольника $ABCD$ вычисляется по формуле:$S_{ABCD} = AD \cdot AB$.

Площадь треугольника $AKD$ вычисляется по формуле:$S_{\triangle AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$, где $h$ — высота, проведенная из вершины $K$ на сторону $AD$.

Проведем высоту $KH$ из точки $K$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Таким образом, $h = KH$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EP$ на прямую $AD$. Так как точка $E$ лежит на прямой $BC$ и $BC \parallel AD$, то длина перпендикуляра $EP$ равна расстоянию между этими параллельными прямыми, что равно длине стороны $AB$. Следовательно, $EP = AB$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle APE$ (с прямым углом $P$) и $\triangle AKH$ (с прямым углом $H$). У этих треугольников есть общий острый угол $\angle KAH$. Следовательно, треугольники $\triangle APE$ и $\triangle AKH$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:$\frac{AE}{AK} = \frac{EP}{KH}$

По условию задачи, точка $E$ — середина отрезка $AK$. Это означает, что $AE = \frac{1}{2} AK$, или $\frac{AE}{AK} = \frac{1}{2}$.

Подставим это соотношение в нашу пропорцию:$\frac{1}{2} = \frac{EP}{KH}$

Отсюда получаем $KH = 2 \cdot EP$.Так как мы ранее установили, что $EP = AB$, то высота треугольника $AKD$ равна $h = KH = 2 \cdot AB$.

Теперь подставим найденное значение высоты в формулу площади треугольника $AKD$:$S_{\triangle AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot KH = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot (2 \cdot AB) = AD \cdot AB$.

Сравнивая полученные площади, имеем:$S_{\triangle AKD} = AD \cdot AB$$S_{ABCD} = AD \cdot AB$Следовательно, $S_{\triangle AKD} = S_{ABCD}$.

Ответ: Площади треугольника $AKD$ и прямоугольника $ABCD$ равны, следовательно, они равновелики, что и требовалось доказать.