Номер 22.28, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.28. Основания трапеции равны 7 см и 15 см, а углы при большем основании — $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите высоту и диагонали трапеции.

22.28. Основания трапеции равны 7 см и 15 см, а углы при большем основании — $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите высоту и диагонали трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. По условию, $BC = 7$ см и $AD = 15$ см. Углы при большем основании AD равны $30^\circ$ и $60^\circ$. Пусть $\angle A = 30^\circ$ и $\angle D = 60^\circ$. Требуется найти высоту и диагонали трапеции.

Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD, CK \perp AD$, то фигура BCKH является прямоугольником. Отсюда следует, что $BH = CK = h$ (высота трапеции) и $HK = BC = 7$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CKD$, образованные высотами.

В $\triangle ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$), катет $AH$ связан с высотой $h$ через тангенс угла $A$:
$\tan(\angle A) = \frac{BH}{AH} \implies \tan(30^\circ) = \frac{h}{AH}$
$AH = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.

В $\triangle CKD$ ($\angle CKD = 90^\circ$), катет $KD$ связан с высотой $h$ через тангенс угла $D$:
$\tan(\angle D) = \frac{CK}{KD} \implies \tan(60^\circ) = \frac{h}{KD}$
$KD = \frac{h}{\tan(60^\circ)} = \frac{h}{\sqrt{3}}$.

Длина основания AD складывается из длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$:
$AD = AH + HK + KD$.
Подставим известные значения и полученные выражения: $15 = h\sqrt{3} + 7 + \frac{h}{\sqrt{3}}$.

Решим это уравнение относительно $h$:
$15 - 7 = h\sqrt{3} + \frac{h}{\sqrt{3}}$
$8 = h(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}})$
$8 = h(\frac{(\sqrt{3})^2 + 1}{\sqrt{3}}) = h(\frac{3+1}{\sqrt{3}})$
$8 = h \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$
$h = \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: Высота трапеции равна $2\sqrt{3}$ см.

Для нахождения диагоналей AC и BD воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников $\triangle ACK$ и $\triangle BHD$.

Предварительно вычислим длины отрезков $AH$ и $KD$, используя найденное значение высоты $h = 2\sqrt{3}$ см:
$AH = h\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$ см.
$KD = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ см.

Теперь найдем длины катетов $AK$ и $HD$, необходимых для вычисления диагоналей:
$AK = AH + HK = 6 + 7 = 13$ см.
$HD = HK + KD = 7 + 2 = 9$ см.

Рассмотрим $\triangle ACK$. По теореме Пифагора $AC^2 = AK^2 + CK^2$:
$AC^2 = 13^2 + (2\sqrt{3})^2 = 169 + 4 \cdot 3 = 169 + 12 = 181$.
$AC = \sqrt{181}$ см.

Рассмотрим $\triangle BHD$. По теореме Пифагора $BD^2 = HD^2 + BH^2$:
$BD^2 = 9^2 + (2\sqrt{3})^2 = 81 + 12 = 93$.
$BD = \sqrt{93}$ см.

Ответ: Диагонали трапеции равны $\sqrt{181}$ см и $\sqrt{93}$ см.