Номер 22.26, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.26. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол 30°. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $R$.

22.26. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол $30^\circ$. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $R$.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По условию, диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$. Также диагональ AC образует с основанием AD угол $30^\circ$, то есть $\angle CAD = 30^\circ$. Трапеция вписана в окружность радиуса R.

Рассмотрим треугольник ACD. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол ADC: $\angle ADC = 180^\circ - \angle CAD - \angle ACD = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

Так как трапеция ABCD равнобокая, углы при основании равны, значит $\angle DAB = \angle ADC = 60^\circ$.

Окружность, описанная около трапеции, также является описанной окружностью для любого треугольника, образованного ее вершинами, например, для треугольника ACD. Применим к треугольнику ACD теорему синусов:

$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = 2R$

Найдем длину боковой стороны CD. Из теоремы синусов следует:

$\frac{CD}{\sin(30^\circ)} = 2R$

$CD = 2R \cdot \sin(30^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.

Теперь найдем высоту трапеции h. Проведем из вершины C высоту CH к основанию AD. В получившемся прямоугольном треугольнике CHD гипотенузой является боковая сторона CD, а одним из острых углов является $\angle CDH = \angle ADC = 60^\circ$. Высота h (катет CH) лежит напротив этого угла.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике CHD:

$\sin(\angle CDH) = \frac{CH}{CD}$

Отсюда выразим высоту h:

$h = CH = CD \cdot \sin(\angle CDH) = R \cdot \sin(60^\circ)$

Подставляя значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$h = R \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $R \frac{\sqrt{3}}{2}$.