Номер 23.3, страница 171 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.3. На продолжении стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$ за точку $D$ отметили точку $M$ так, что $AD = MD$. Докажите, что параллело- грамм $ABCD$ и треугольник $ABM$ равновелики.

23.3. На продолжении стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$ за точку $D$ отметили точку $M$ так, что $AD = MD$. Докажите, что параллелограмм $ABCD$ и треугольник $ABM$ равновелики.

Для доказательства того, что параллелограмм $ABCD$ и треугольник $ABM$ равновелики, то есть имеют равные площади, воспользуемся формулами для вычисления их площадей.

Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AD$ и её продолжение $AM$. Обозначим длину этой высоты как $h$. Эта высота является общей для параллелограмма $ABCD$ (при основании $AD$) и для треугольника $ABM$ (при основании $AM$).

1. Найдём площадь параллелограмма $ABCD$. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведённую к этому основанию.
$S_{ABCD} = AD \cdot BH = AD \cdot h$

2. Найдём площадь треугольника $ABM$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведённую к этому основанию.
$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h$

3. Выразим длину основания $AM$ треугольника. По условию, точка $M$ лежит на продолжении стороны $AD$ за точку $D$. Это значит, что длина отрезка $AM$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $MD$.
$AM = AD + MD$
Также по условию известно, что $AD = MD$. Подставим это в предыдущее выражение:
$AM = AD + AD = 2 \cdot AD$

4. Подставим полученное выражение для $AM$ в формулу площади треугольника $ABM$:
$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AD) \cdot h = AD \cdot h$

5. Сравним площади параллелограмма $ABCD$ и треугольника $ABM$:
$S_{ABCD} = AD \cdot h$
$S_{ABM} = AD \cdot h$
Отсюда следует, что $S_{ABCD} = S_{ABM}$.

Таким образом, мы доказали, что параллелограмм $ABCD$ и треугольник $ABM$ имеют равные площади, то есть они равновелики.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь параллелограмма $ABCD$ равна площади треугольника $ABM$.