Номер 23.6, страница 171 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.6. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

23.6. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Для решения задачи обозначим радиус окружности как $r$.

Площадь квадрата, описанного около окружности

Если квадрат описан около окружности, то его стороны касаются окружности. Длина стороны такого квадрата ($a_1$) равна диаметру окружности ($d = 2r$).

$a_1 = 2r$

Площадь описанного квадрата ($S_1$) равна квадрату его стороны:

$S_1 = a_1^2 = (2r)^2 = 4r^2$

Площадь квадрата, вписанного в окружность

Если квадрат вписан в окружность, то все его вершины лежат на окружности. Диагональ такого квадрата ($d_2$) равна диаметру окружности ($d = 2r$).

$d_2 = 2r$

Площадь квадрата можно вычислить через его диагональ по формуле $S = \frac{d^2}{2}$. Таким образом, площадь вписанного квадрата ($S_2$) равна:

$S_2 = \frac{d_2^2}{2} = \frac{(2r)^2}{2} = \frac{4r^2}{2} = 2r^2$

Отношение площадей

Чтобы найти, во сколько раз площадь описанного квадрата больше площади вписанного, необходимо разделить площадь первого на площадь второго:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4r^2}{2r^2} = 2$

Ответ: в 2 раза.