Номер 23.9, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.9. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 2 : 7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 108 см.

23.9. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 2 : 7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 108 см.

Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами $a$ и $b$. Пусть $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$.

Проведем биссектрису угла A, пусть это будет отрезок AK, где K — точка на диагонали BD. По условию, биссектриса делит диагональ в отношении 2 : 7, то есть $BK : KD = 2 : 7$.

Рассмотрим треугольник ABD. AK является биссектрисой угла A. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону (в данном случае BD) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (AB и AD).

Таким образом, мы можем записать соотношение:

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{BK}{KD} $$

Подставляя известные значения, получаем отношение сторон прямоугольника:

$$ \frac{a}{b} = \frac{2}{7} $$

Отсюда можно выразить одну сторону через другую: $a = \frac{2}{7}b$.

Периметр прямоугольника равен 108 см. Формула периметра: $P = 2(a + b)$.

$$ 2(a + b) = 108 $$

$$ a + b = 54 $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$ \begin{cases} a = \frac{2}{7}b \\ a + b = 54 \end{cases} $$

Подставим первое уравнение во второе:

$$ \frac{2}{7}b + b = 54 $$

$$ \frac{9}{7}b = 54 $$

Найдем сторону $b$:

$$ b = 54 \cdot \frac{7}{9} = 6 \cdot 7 = 42 \text{ см} $$

Теперь найдем сторону $a$:

$$ a = 54 - b = 54 - 42 = 12 \text{ см} $$

Итак, стороны прямоугольника равны 12 см и 42 см.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

$$ S = 12 \cdot 42 = 504 \text{ см}^2 $$

Ответ: 504 см².