Номер 23.10, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.10. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении $1 : 4$. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $36 \text{ см}^2$.

23.10. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1 : 4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $ 36 \text{ см}^2 $.

Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами $AB = a$ и $AD = b$. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$, которая пересекает диагональ $BD$ в точке $L$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Угол $A$ в этом треугольнике прямой ($90^\circ$). $AL$ является биссектрисой угла $A$ этого треугольника.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону (в данном случае $BD$) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам ($AB$ и $AD$). Таким образом, мы можем записать соотношение:

$\frac{BL}{LD} = \frac{AB}{AD}$

По условию задачи, биссектриса делит диагональ в отношении 1:4. Это означает, что $\frac{BL}{LD} = \frac{1}{4}$ или $\frac{BL}{LD} = \frac{4}{1}$. Оба случая приведут к одному и тому же результату для периметра, так как это просто поменяет местами длину и ширину прямоугольника.

Рассмотрим случай, когда $\frac{BL}{LD} = \frac{1}{4}$. Тогда:

$\frac{a}{b} = \frac{1}{4}$, откуда $b = 4a$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, $S = 36 \text{ см}^2$.

Подставим выражение для $b$ в формулу площади:

$a \cdot (4a) = 36$

$4a^2 = 36$

$a^2 = \frac{36}{4}$

$a^2 = 9$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, $a = 3 \text{ см}$.

Теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = 4a = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}$.

Периметр прямоугольника $P$ равен удвоенной сумме его смежных сторон:

$P = 2(a + b)$

$P = 2(3 + 12) = 2 \cdot 15 = 30 \text{ см}$.

Ответ: 30 см.