Номер 23.4, страница 171 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.4. Площадь квадрата ABCD равна $10 \text{ см}^2$ (рис. 23.7). Чему равна площадь прямоугольника BMKD?

Рис. 23.7

23.4. Площадь квадрата $ABCD$ равна $10 \text{ см}^2$ (рис. 23.7). Чему равна площадь прямоугольника $BMKD$?

Рис. 23.7

Для решения задачи воспользуемся данными из условия и геометрическими свойствами фигур, изображенных на рисунке.

Дано:

• $ABCD$ — квадрат.
• Площадь квадрата $S_{ABCD} = 10 \text{ см}^2$.
• $BMKD$ — прямоугольник.

Найти:

• Площадь прямоугольника $S_{BMKD}$.

Решение:

1. Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда его площадь равна $S_{ABCD} = a^2$. По условию, $a^2 = 10 \text{ см}^2$.

2. Рассмотрим рисунок. Фигура $BMKD$ построена на основе квадрата $ABCD$. Точки $M$ и $K$ расположены так, что треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle CDK$ являются внешними по отношению к квадрату. Судя по рисунку, можно предположить, что эти треугольники являются прямоугольными и равнобедренными, с прямыми углами при вершине $C$. Проверим, будет ли при таком построении четырехугольник $BMKD$ прямоугольником.

3. Итак, примем, что $\triangle BCM$ и $\triangle CDK$ — прямоугольные равнобедренные треугольники с прямым углом при вершине $C$. Из этого следует, что:

• $CM = BC = a$ и $\angle BCM = 90^\circ$.
• $CK = CD = a$ и $\angle KCD = 90^\circ$.

4. Рассмотрим четырехугольник $BMKD$. Его диагоналями являются отрезки $DM$ и $BK$. Найдем их свойства.

5. Рассмотрим угол $\angle DCM$. Он состоит из двух углов: $\angle DCB$ (угол квадрата) и $\angle BCM$ (угол построенного треугольника). $ \angle DCM = \angle DCB + \angle BCM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $. Это означает, что точки $D, C, M$ лежат на одной прямой.

6. Аналогично рассмотрим угол $\angle KCB$: $ \angle KCB = \angle KCD + \angle DCB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $. Это означает, что точки $K, C, B$ также лежат на одной прямой.

7. Таким образом, отрезки $DM$ и $BK$ являются диагоналями четырехугольника $BMKD$ и пересекаются в точке $C$.

8. Найдем длины этих диагоналей:

• Длина диагонали $DM = DC + CM = a + a = 2a$.
• Длина диагонали $BK = BC + CK = a + a = 2a$.

Диагонали равны: $DM = BK = 2a$.

9. Точка $C$ является серединой обеих диагоналей, так как $DC = CM = a$ и $BC = CK = a$. Следовательно, диагонали четырехугольника $BMKD$ в точке пересечения делятся пополам. Четырехугольник, у которого диагонали в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом.

10. Так как диагонали этого параллелограмма равны ($DM=BK$), то он является прямоугольником. Это соответствует условию задачи.

11. Более того, рассмотрим угол между диагоналями. Угол $\angle DCB$ является углом квадрата $ABCD$, поэтому $\angle DCB = 90^\circ$. Так как диагонали прямоугольника $BMKD$ перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

12. Площадь четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения длин диагоналей: $ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 $.

Подставим длины диагоналей $DM$ и $BK$: $ S_{BMKD} = \frac{1}{2} \cdot DM \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot (2a) = \frac{1}{2} \cdot 4a^2 = 2a^2 $.

13. Мы знаем, что площадь квадрата $ABCD$ равна $a^2 = 10 \text{ см}^2$. Тогда площадь прямоугольника $BMKD$ равна: $ S_{BMKD} = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 10 = 20 \text{ см}^2 $.

Ответ: Площадь прямоугольника $BMKD$ равна $20 \text{ см}^2$.