Номер 23.7, страница 171 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.7. Площадь прямоугольного листа бумаги, длины сторон которого выражены целыми числами сантиметров, равна $12\text{ см}^2$. Сколько квадратов площадью $4\text{ см}^2$ можно вырезать из этого листа?

23.7. Площадь прямоугольного листа бумаги, длины сторон которого выражены целыми числами сантиметров, равна $12 \, \text{cm}^2$. Сколько квадратов площадью $4 \, \text{cm}^2$ можно вырезать из этого листа?

Для решения задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты размеров прямоугольного листа бумаги, площадь которого равна 12 см², а длины сторон выражены целыми числами. Для каждого варианта нужно определить, сколько квадратов площадью 4 см² можно из него вырезать.

Пусть $a$ и $b$ – длины сторон прямоугольника в сантиметрах. По условию, $a$ и $b$ – целые числа. Площадь прямоугольника $S_{листа} = a \cdot b$. Нам дано, что $S_{листа} = 12$ см². Следовательно, нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 12.

Возможные пары размеров листа $(a, b)$:

• 1 см и 12 см (так как $1 \cdot 12 = 12$)
• 2 см и 6 см (так как $2 \cdot 6 = 12$)
• 3 см и 4 см (так как $3 \cdot 4 = 12$)

Далее определим размеры вырезаемого квадрата. Площадь квадрата равна $S_{квадрата} = 4$ см². Если сторона квадрата равна $s$, то $s^2 = 4$ см². Отсюда находим длину стороны квадрата: $s = \sqrt{4} = 2$ см. Таким образом, нам нужно вырезать квадраты размером 2 см × 2 см.

Теперь рассмотрим каждый из трех возможных вариантов размеров листа бумаги и посчитаем, сколько квадратов можно вырезать. Количество квадратов, которое можно вырезать из прямоугольника $a \times b$, равно произведению целых частей от деления сторон прямоугольника на сторону квадрата $s=2$ см: $N = \lfloor \frac{a}{s} \rfloor \cdot \lfloor \frac{b}{s} \rfloor$.

1. Если размеры листа 1 см × 12 см.
Поскольку одна из сторон листа (1 см) меньше стороны квадрата (2 см), из такого листа невозможно вырезать ни одного квадрата 2×2 см.
Расчет: $N = \lfloor \frac{1}{2} \rfloor \cdot \lfloor \frac{12}{2} \rfloor = 0 \cdot 6 = 0$.

2. Если размеры листа 2 см × 6 см.
Вдоль стороны длиной 2 см можно разместить $\lfloor \frac{2}{2} \rfloor = 1$ квадрат. Вдоль стороны длиной 6 см можно разместить $\lfloor \frac{6}{2} \rfloor = 3$ квадрата.
Общее количество квадратов: $N = 1 \cdot 3 = 3$.

3. Если размеры листа 3 см × 4 см.
Вдоль стороны длиной 3 см можно разместить $\lfloor \frac{3}{2} \rfloor = 1$ квадрат. Вдоль стороны длиной 4 см можно разместить $\lfloor \frac{4}{2} \rfloor = 2$ квадрата.
Общее количество квадратов: $N = 1 \cdot 2 = 2$.

Таким образом, количество квадратов, которое можно вырезать, зависит от конкретных размеров (формы) листа бумаги.

Ответ: В зависимости от размеров листа бумаги можно вырезать 0, 2 или 3 квадрата.