Номер 23.1, страница 171 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.1. Диагональ прямоугольника равна $d$ и образует с одной из сторон угол $\alpha$. Найдите площадь прямоугольника.

23.1. Диагональ прямоугольника равна $d$ и образует с одной из сторон угол $\alpha$. Найдите площадь прямоугольника.

23.1.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Диагональ $d$ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Стороны $a$ и $b$ являются катетами этих треугольников, а диагональ $d$ — их общей гипотенузой.

По условию, диагональ образует с одной из сторон угол $\alpha$. Пусть это будет угол между стороной $a$ и диагональю $d$. Тогда в прямоугольном треугольнике со сторонами $a$, $b$ и $d$:

- Сторона $a$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$.
- Сторона $b$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Используя определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, выразим стороны $a$ и $b$ через $d$ и $\alpha$:
$\cos(\alpha) = \frac{a}{d} \implies a = d \cos(\alpha)$
$\sin(\alpha) = \frac{b}{d} \implies b = d \sin(\alpha)$

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон:
$S = a \cdot b$
Подставим полученные выражения для $a$ и $b$:
$S = (d \cos(\alpha)) \cdot (d \sin(\alpha)) = d^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

Это выражение можно упростить, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$. Отсюда $\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
Тогда площадь можно записать как:
$S = d^2 \cdot \frac{1}{2} \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} d^2 \sin(2\alpha)$

Ответ: $S = d^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$ (или $S = \frac{1}{2} d^2 \sin(2\alpha)$).