Номер 22.24, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.24. Большая диагональ ромба равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Найдите сторону и меньшую диагональ ромба.

22.24. Большая диагональ ромба равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Найдите сторону и меньшую диагональ ромба.

Пусть сторона ромба равна a, большая диагональ — d, меньшая диагональ — d₁, а острый угол — α. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов ромба. Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих треугольников. Его гипотенуза — это сторона ромба a, а катеты — это половины диагоналей, то есть $\frac{d}{2}$ и $\frac{d_1}{2}$.

Большая диагональ ромба соединяет вершины его острых углов. Следовательно, угол между стороной ромба (гипотенузой нашего треугольника) и половиной большей диагонали (катетом) равен половине острого угла ромба, то есть $\frac{\alpha}{2}$.

Сторона ромба

В рассматриваемом прямоугольном треугольнике катет, равный $\frac{d}{2}$, является прилежащим к углу $\frac{\alpha}{2}$, а гипотенуза равна a. Используя определение косинуса, запишем соотношение:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{d/2}{a}$

Из этого выражения найдем сторону ромба a:

$a = \frac{d/2}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $\frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Меньшая диагональ ромба

В том же прямоугольном треугольнике катет, равный половине меньшей диагонали ($\frac{d_1}{2}$), является противолежащим к углу $\frac{\alpha}{2}$. Используя определение тангенса, запишем соотношение:

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{d_1/2}{d/2} = \frac{d_1}{d}$

Из этого выражения найдем меньшую диагональ d₁:

$d_1 = d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.