Номер 22.19, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.19. Из точки $D$, лежащей вне прямой $n$, проведены к этой прямой наклонные $DK$ и $DB$, образующие с ней углы $45^\circ$ и $60^\circ$ соответственно. Найдите длину проекции наклонной $DK$ на прямую $n$, если $DB = 10\sqrt{3}$ см.

22.19. Из точки $D$, лежащей вне прямой $n$, проведены к этой прямой наклонные $DK$ и $DB$, образующие с ней углы $45^{\circ}$ и $60^{\circ}$ соответственно. Найдите длину проекции наклонной $DK$ на прямую $n$, если $DB = 10\sqrt{3}$ см.

Пусть D — точка, лежащая вне прямой n. Опустим из точки D перпендикуляр DH на прямую n, где H — основание перпендикуляра. Наклонные DK и DB образуют с прямой n углы $\angle DKH = 45^{\circ}$ и $\angle DBH = 60^{\circ}$ соответственно. Проекцией наклонной DK на прямую n является отрезок HK, а проекцией наклонной DB — отрезок HB. Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника, ΔDHK и ΔDHB, с общим катетом DH.

1. Нахождение длины перпендикуляра DH из треугольника ΔDHB.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔDHB (угол $\angle DHB = 90^{\circ}$).
Гипотенуза $DB = 10\sqrt{3}$ см.
Угол $\angle DBH = 60^{\circ}$.
Катет DH лежит напротив угла в $60^{\circ}$. Воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle DBH) = \frac{DH}{DB}$
Выразим отсюда длину катета DH:
$DH = DB \cdot \sin(60^{\circ})$
Подставим известные значения ($ \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $):
$DH = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

2. Нахождение длины проекции HK из треугольника ΔDHK.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ΔDHK (угол $\angle DHK = 90^{\circ}$).
Катет $DH = 15$ см (найден на предыдущем шаге).
Угол $\angle DKH = 45^{\circ}$.
Проекция HK является вторым катетом этого треугольника.
Поскольку один из острых углов прямоугольного треугольника равен $45^{\circ}$, то и второй острый угол ($\angle KDH$) тоже равен $90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. Это означает, что треугольник ΔDHK является равнобедренным, и его катеты равны:
$HK = DH$
Следовательно, $HK = 15$ см.

Ответ: 15 см.