Номер 22.16, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.16. Сторона ромба равна $a$; а один из его углов $-$ $60^\circ$. Найдите диагонали ромба.

22.16. Сторона ромба равна $a$, а один из его углов — $60^\circ$. Найдите диагонали ромба.

Пусть дан ромб со стороной $a$ и одним из углов, равным $60^\circ$. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, значит, его углы равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$ и $120^\circ$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым углом.

Найдем меньшую диагональ ($d_1$)

Меньшая диагональ соединяет вершины с тупыми углами ($120^\circ$) и лежит напротив острого угла ($60^\circ$). Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. Две стороны этого треугольника равны $a$, а угол между ними — $60^\circ$.

Так как этот треугольник равнобедренный (две стороны равны $a$), углы при его основании равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому углы при основании равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, третья сторона (меньшая диагональ) также равна $a$.

Ответ: $d_1 = a$.

Найдем большую диагональ ($d_2$)

Большая диагональ соединяет вершины с острыми углами ($60^\circ$) и лежит напротив тупого угла ($120^\circ$). Для её нахождения воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба и большей диагональю. В этом случае угол между сторонами $a$ будет равен $120^\circ$.

Согласно теореме косинусов:

$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -1/2$. Подставим это значение в формулу:

$d_2^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$d_2^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти длину диагонали:

$d_2 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $d_2 = a\sqrt{3}$.