Номер 22.14, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.14. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 12 см, а угол при основании — $45^\circ$. Найдите высоту и боковую сторону трапеции.

22.14. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 12 см, а угол при основании — $45^\circ$. Найдите высоту и боковую сторону трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, AB и CD — боковые стороны. По условию: меньшее основание $BC = 8$ см, большее основание $AD = 12$ см, а углы при большем основании $\angle A = \angle D = 45^\circ$.

Проведем из вершин B и C высоты BH и CK к основанию AD. Полученная фигура HBCK является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD, CK \perp AD$. Следовательно, $HK = BC = 8$ см.

Так как трапеция равнобокая, то прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету). Из этого следует, что их соответствующие катеты $AH$ и $KD$ также равны.

Длину отрезка AH можно найти из соотношения: $AD = AH + HK + KD$ Поскольку $AH = KD$, мы можем записать: $AD = 2 \cdot AH + HK$ Подставим известные значения: $12 = 2 \cdot AH + 8$ $2 \cdot AH = 12 - 8$ $2 \cdot AH = 4$ $AH = 2$ см.

Высота трапеции

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем известен катет $AH = 2$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle A = 45^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит второй острый угол $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку углы при гипотенузе равны, треугольник $\triangle ABH$ является равнобедренным, и его катеты равны: $BH = AH$. Следовательно, высота трапеции $h = BH = 2$ см.

Ответ: 2 см.

Боковая сторона трапеции

Боковая сторона AB является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$. Мы можем найти ее длину по теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$ Подставим значения катетов: $AB^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$ $AB = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.