Номер 22.8, страница 162 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.8. Решите прямоугольный треугольник по известным элементам:

1) $a = 34 \text{ см}, \alpha = 55^\circ$;

2) $c = 16 \text{ см}, \beta = 18^\circ$;

3) $b = 12 \text{ см}, c = 13 \text{ см}$;

4) $a = 4 \text{ см}, b = 14 \text{ см.}$

22.8. Решите прямоугольный треугольник по известным элементам:

1) $a = 34 \text{ см}, \alpha = 55^\circ$;

2) $c = 16 \text{ см}, \beta = 18^\circ$;

3) $b = 12 \text{ см}, c = 13 \text{ см}$;

4) $a = 4 \text{ см}, b = 14 \text{ см}$.

Решение прямоугольного треугольника означает нахождение всех его неизвестных сторон и углов по известным данным. Будем использовать стандартные обозначения: $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, $\alpha$ и $\beta$ — острые углы, противолежащие катетам $a$ и $b$ соответственно. Прямой угол равен $90^{\circ}$.

Дано: катет $a = 34$ см, противолежащий ему угол $\alpha = 55^{\circ}$.
Найти: катет $b$, гипотенузу $c$ и угол $\beta$.
Решение:
1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$, следовательно:
$\beta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ}$.
2. Катет $b$ является прилежащим к углу $\alpha$. Найдем его через тангенс:
$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} \implies b = \frac{a}{\tan(\alpha)} = \frac{34}{\tan(55^{\circ})}$.
Так как $\tan(55^{\circ}) \approx 1.4281$, то $b \approx \frac{34}{1.4281} \approx 23.8$ см.
3. Гипотенузу $c$ найдем через синус угла $\alpha$:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} \implies c = \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{34}{\sin(55^{\circ})}$.
Так как $\sin(55^{\circ}) \approx 0.8192$, то $c \approx \frac{34}{0.8192} \approx 41.5$ см.
Ответ: $b \approx 23.8$ см, $c \approx 41.5$ см, $\beta = 35^{\circ}$.

Дано: гипотенуза $c = 16$ см, угол $\beta = 18^{\circ}$.
Найти: катеты $a$ и $b$ и угол $\alpha$.
Решение:
1. Найдем угол $\alpha$:
$\alpha = 90^{\circ} - \beta = 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ}$.
2. Катет $a$ является прилежащим к углу $\beta$. Найдем его через косинус:
$\cos(\beta) = \frac{a}{c} \implies a = c \cdot \cos(\beta) = 16 \cdot \cos(18^{\circ})$.
Так как $\cos(18^{\circ}) \approx 0.9511$, то $a \approx 16 \cdot 0.9511 \approx 15.2$ см.
3. Катет $b$ является противолежащим углу $\beta$. Найдем его через синус:
$\sin(\beta) = \frac{b}{c} \implies b = c \cdot \sin(\beta) = 16 \cdot \sin(18^{\circ})$.
Так как $\sin(18^{\circ}) \approx 0.3090$, то $b \approx 16 \cdot 0.3090 \approx 4.9$ см.
Ответ: $a \approx 15.2$ см, $b \approx 4.9$ см, $\alpha = 72^{\circ}$.

Дано: катет $b = 12$ см, гипотенуза $c = 13$ см.
Найти: катет $a$ и углы $\alpha$ и $\beta$.
Решение:
1. Найдем катет $a$ по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.
2. Найдем угол $\alpha$. Синус угла $\alpha$ есть отношение противолежащего катета $a$ к гипотенузе $c$:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}$.
$\alpha = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22.6^{\circ}$.
3. Найдем угол $\beta$ из свойства суммы острых углов прямоугольного треугольника:
$\beta = 90^{\circ} - \alpha \approx 90^{\circ} - 22.6^{\circ} = 67.4^{\circ}$.
Ответ: $a = 5$ см, $\alpha \approx 22.6^{\circ}$, $\beta \approx 67.4^{\circ}$.

Дано: катет $a = 4$ см, катет $b = 14$ см.
Найти: гипотенузу $c$ и углы $\alpha$ и $\beta$.
Решение:
1. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 14^2} = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212} = 2\sqrt{53}$ см.
$c \approx 14.6$ см.
2. Найдем угол $\alpha$. Тангенс угла $\alpha$ есть отношение противолежащего катета $a$ к прилежащему $b$:
$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.
$\alpha = \arctan\left(\frac{2}{7}\right) \approx 15.9^{\circ}$.
3. Найдем угол $\beta$ из свойства суммы острых углов прямоугольного треугольника:
$\beta = 90^{\circ} - \alpha \approx 90^{\circ} - 15.9^{\circ} = 74.1^{\circ}$.
Ответ: $c = 2\sqrt{53} \approx 14.6$ см, $\alpha \approx 15.9^{\circ}$, $\beta \approx 74.1^{\circ}$.