Номер 22.2, страница 162 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.2. В треугольнике $DEF \angle E = 90^\circ$. Найдите сторону:

1) $DE$, если $DF = 18$ см, $\cos D = \frac{2}{9}$;

2) $DF$, если $EF = 3,5$ см, $\cos F = 0,7$;

3) $EF$, если $DE = 2,4$ см, $\operatorname{tg} D = \frac{11}{12}$.

22.2. В треугольнике $DEF$ $\angle E = 90^\circ$. Найдите сторону:

1) $DE$, если $DF = 18$ см, $\cos D = \frac{2}{9}$;

2) $DF$, если $EF = 3,5$ см, $\cos F = 0,7$;

3) $EF$, если $DE = 2,4$ см, $\text{tg } D = \frac{11}{12}$.

1) В прямоугольном треугольнике $DEF$ с прямым углом $E$ косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $D$ прилежащим катетом является $DE$, а гипотенузой — $DF$.
Таким образом, $\cos D = \frac{DE}{DF}$.
По условию $DF = 18$ см и $\cos D = \frac{2}{9}$. Подставим известные значения в формулу:
$\frac{2}{9} = \frac{DE}{18}$.
Чтобы найти $DE$, умножим обе части уравнения на 18:
$DE = 18 \cdot \frac{2}{9} = 2 \cdot 2 = 4$ см.
Ответ: 4 см.

2) Для угла $F$ прилежащим катетом является $EF$, а гипотенузой — $DF$.
Формула для косинуса угла $F$ имеет вид: $\cos F = \frac{EF}{DF}$.
По условию $EF = 3,5$ см и $\cos F = 0,7$. Подставим эти значения:
$0,7 = \frac{3,5}{DF}$.
Выразим из этого уравнения гипотенузу $DF$:
$DF = \frac{3,5}{0,7} = \frac{35}{7} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

3) Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $D$ противолежащим катетом является $EF$, а прилежащим — $DE$.
Следовательно, $\text{tg } D = \frac{EF}{DE}$.
По условию $DE = 2,4$ см и $\text{tg } D = \frac{11}{12}$. Подставим значения в формулу:
$\frac{11}{12} = \frac{EF}{2,4}$.
Выразим из уравнения катет $EF$:
$EF = 2,4 \cdot \frac{11}{12} = \frac{24}{10} \cdot \frac{11}{12} = \frac{2 \cdot 11}{10} = \frac{22}{10} = 2,2$ см.
Ответ: 2,2 см.