Номер 22.1, страница 161 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.1. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$. Найдите сторону:

1) $BC$, если $AB = 12$ см, $\sin A = \frac{3}{4}$;

2) $AC$, если $AB = 21$ см, $\cos A = 0,4$;

3) $AC$, если $BC = 4$ см, $\operatorname{tg} A = 1,6$;

4) $AB$, если $BC = 14$ см, $\cos B = \frac{7}{9}$;

5) $AB$, если $AC = 3,2$ см, $\sin B = 0,16$;

6) $BC$, если $AC = 2,3$ см, $\operatorname{tg} B = \frac{1}{2}$.

22.1. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$. Найдите сторону:

1) BC, если AB = 12 см, $\sin A = \frac{3}{4}$;

2) AC, если AB = 21 см, $\cos A = 0,4$;

3) AC, если BC = 4 см, $\tan A = 1,6$;

4) AB, если BC = 14 см, $\cos B = \frac{7}{9}$;

5) AB, если AC = 3,2 см, $\sin B = 0,16$;

6) BC, если AC = 2,3 см, $\tan B = \frac{1}{2}$.

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся определениями тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике ABC, где $\angle C = 90^\circ$.

• Синус острого угла: отношение противолежащего катета к гипотенузе. ($sin A = \frac{BC}{AB}$, $sin B = \frac{AC}{AB}$)
• Косинус острого угла: отношение прилежащего катета к гипотенузе. ($cos A = \frac{AC}{AB}$, $cos B = \frac{BC}{AB}$)
• Тангенс острого угла: отношение противолежащего катета к прилежащему. ($tg A = \frac{BC}{AC}$, $tg B = \frac{AC}{BC}$)

1) BC, если AB = 12 см, sin A = $\frac{3}{4}$;

По определению синуса угла A: $sin A = \frac{BC}{AB}$.

Выразим из этой формулы искомую сторону BC: $BC = AB \cdot sin A$.

Подставим известные значения: $BC = 12 \cdot \frac{3}{4} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

2) AC, если AB = 21 см, cos A = 0,4;

По определению косинуса угла A: $cos A = \frac{AC}{AB}$.

Выразим сторону AC: $AC = AB \cdot cos A$.

Подставим известные значения: $AC = 21 \cdot 0,4 = 8,4$ см.

Ответ: 8,4 см.

3) AC, если BC = 4 см, tg A = 1,6;

По определению тангенса угла A: $tg A = \frac{BC}{AC}$.

Выразим сторону AC: $AC = \frac{BC}{tg A}$.

Подставим известные значения: $AC = \frac{4}{1,6} = \frac{40}{16} = 2,5$ см.

Ответ: 2,5 см.

4) AB, если BC = 14 см, cos B = $\frac{7}{9}$;

По определению косинуса угла B: $cos B = \frac{BC}{AB}$.

Выразим сторону AB: $AB = \frac{BC}{cos B}$.

Подставим известные значения: $AB = \frac{14}{\frac{7}{9}} = 14 \cdot \frac{9}{7} = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

5) AB, если AC = 3,2 см, sin B = 0,16;

По определению синуса угла B: $sin B = \frac{AC}{AB}$.

Выразим сторону AB: $AB = \frac{AC}{sin B}$.

Подставим известные значения: $AB = \frac{3,2}{0,16} = \frac{320}{16} = 20$ см.

Ответ: 20 см.

6) BC, если AC = 2,3 см, tg B = $\frac{1}{2}$.

По определению тангенса угла B: $tg B = \frac{AC}{BC}$.

Выразим сторону BC: $BC = \frac{AC}{tg B}$.

Подставим известные значения: $BC = \frac{2,3}{\frac{1}{2}} = 2,3 \cdot 2 = 4,6$ см.

Ответ: 4,6 см.