Номер 21.25, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.25. Докажите, что расстояние от вершины A остроугольного треугольника ABC до ортоцентра H можно вычислить по формуле:

1) $AH = 2R\cos A$;

2) $AH = BC\cot A$.

21.25. Докажите, что расстояние от вершины A остроугольного треугольника ABC до ортоцентра H можно вычислить по формуле:

1) $AH = 2R\cos A$;

2) $AH = BC\ctg A$.

Докажем формулу $AH = 2R \cos A$.

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а $R$ — ее радиус. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда $OM$ является перпендикуляром к $BC$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $OBC$, в котором $OB = OC = R$. Центральный угол $\angle BOC$ опирается на ту же дугу $BC$, что и вписанный угол $\angle BAC = A$, следовательно, $\angle BOC = 2A$. Так как $OM$ является медианой и высотой в равнобедренном треугольнике $OBC$, то $OM$ также является биссектрисой угла $\angle BOC$.

В прямоугольном треугольнике $OMB$ имеем $\angle BOM = \frac{1}{2} \angle BOC = A$. Отсюда можем найти длину $OM$:

$OM = OB \cdot \cos(\angle BOM) = R \cos A$.

Докажем известное свойство, что расстояние от вершины до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны, то есть $AH = 2OM$.

Проведем через вершину $A$ диаметр $AD'$ описанной окружности. Рассмотрим четырехугольник $HBD'C$.

Высота $CH$ перпендикулярна стороне $AB$ ($CH \perp AB$). Угол $\angle ABD'$, опирающийся на диаметр $AD'$, является прямым, следовательно $BD' \perp AB$. Так как $CH$ и $BD'$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$, они параллельны: $CH \parallel BD'$.

Аналогично, высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$ ($BH \perp AC$). Угол $\angle ACD'$, опирающийся на диаметр $AD'$, является прямым, следовательно $CD' \perp AC$. Так как $BH$ и $CD'$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, они параллельны: $BH \parallel CD'$.

Поскольку противолежащие стороны четырехугольника $HBD'C$ попарно параллельны, он является параллелограммом. Его диагонали $BC$ и $HD'$ в точке их пересечения $M$ делятся пополам. Следовательно, $M$ — середина отрезка $HD'$.

Рассмотрим треугольник $AHD'$. В нем точка $O$ — середина стороны $AD'$ (так как $AD'$ — диаметр), а точка $M$ — середина стороны $HD'$. Таким образом, $OM$ является средней линией треугольника $AHD'$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине: $OM = \frac{1}{2} AH$.

Отсюда следует, что $AH = 2OM$. Подставляя найденное ранее выражение для $OM$, получаем итоговую формулу:

$AH = 2(R \cos A) = 2R \cos A$.

Ответ: $AH = 2R \cos A$.

Докажем формулу $AH = BC \text{ctg} A$.

Воспользуемся результатом, доказанным в пункте 1: $AH = 2R \cos A$.

Из обобщенной теоремы синусов для треугольника $ABC$ известно, что:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{BC}{\sin A} = 2R$.

Подставим выражение для $2R$ из теоремы синусов в формулу из пункта 1:

$AH = \left(\frac{BC}{\sin A}\right) \cdot \cos A$.

Сгруппировав тригонометрические функции, получим:

$AH = BC \cdot \frac{\cos A}{\sin A}$.

Так как отношение косинуса угла к синусу того же угла есть котангенс, то:

$AH = BC \text{ctg} A$.

Ответ: $AH = BC \text{ctg} A$.