Номер 21.22, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.22. Докажите, что радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле $r = (p - BC)\operatorname{tg} \frac{A}{2}$, где $p$ — полупериметр треугольника $ABC$.

21.22. Докажите, что радиус вписанной окружности треугольника ABC можно вычислить по формуле $r = (p - BC)\operatorname{tg}\frac{A}{2}$, где p — полупериметр треугольника ABC.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$. Полупериметр треугольника равен $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r$ касается сторон $AB$, $AC$ и $BC$ в точках $K$, $M$ и $N$ соответственно.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, имеем:

• $AK = AM$
• $BK = BN$
• $CM = CN$

Периметр треугольника $P = AB + BC + AC = (AK+KB) + (BN+NC) + (CM+AM) = 2(AK+BN+CM)$.

Поскольку $p = \frac{P}{2}$, то $p = AK+BN+CM$.

Выразим отрезок $AK$. Мы знаем, что $BN+CM = BC = a$. Тогда $AK = p - (BN+CM) = p - a = p - BC$.

Рассмотрим треугольник $AKI$. Центр вписанной окружности $I$ лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Следовательно, $AI$ — биссектриса угла $A$, и $\angle KAI = \frac{\angle A}{2}$.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $IK \perp AB$. Таким образом, треугольник $AKI$ — прямоугольный с прямым углом $K$.

В прямоугольном треугольнике $AKI$ тангенс угла $KAI$ равен отношению противолежащего катета $IK$ к прилежащему катету $AK$:

$\text{tg}(\angle KAI) = \frac{IK}{AK}$

Подставим известные нам значения:

$\text{tg}\frac{A}{2} = \frac{r}{AK}$

Отсюда выразим радиус $r$:

$r = AK \cdot \text{tg}\frac{A}{2}$

Ранее мы нашли, что $AK = p - BC$. Подставим это выражение в формулу для радиуса:

$r = (p - BC) \text{tg}\frac{A}{2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Формула для вычисления радиуса вписанной окружности $r = (p - BC)\text{tg}\frac{A}{2}$ верна.