Номер 21.20, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.20. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $BD$ и $AM$ — высоты треугольника, $BD : AM = 3 : 1$. Найдите $\cos C$.

21.20. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $BD$ и $AM$ — высоты треугольника, $BD : AM = 3 : 1$. Найдите $\cos C$.

Площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами через его высоты.

1. Используя высоту $BD$, проведенную к стороне $AC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$

2. Используя высоту $AM$, проведенную к стороне $BC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM$

Приравняем эти два выражения для площади:$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM$$AC \cdot BD = BC \cdot AM$

Из условия задачи известно, что $BD : AM = 3 : 1$, откуда следует, что $BD = 3 \cdot AM$. Подставим это в наше равенство:$AC \cdot (3 \cdot AM) = BC \cdot AM$

Так как длина высоты $AM$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $AM$:$3 \cdot AC = BC$

По условию треугольник $ABC$ равнобедренный, так как $AB = BC$. Высота $BD$, проведенная к основанию $AC$, является также и медианой. Это означает, что точка $D$ — середина стороны $AC$, то есть:$DC = \frac{1}{2} AC$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$ (угол $\angle BDC = 90^\circ$, поскольку $BD$ — высота). По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:$\cos C = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{DC}{BC}$

Теперь подставим в эту формулу найденные нами соотношения для $DC$ и $BC$:$\cos C = \frac{\frac{1}{2} AC}{3 \cdot AC}$

Сократим $AC$ в числителе и знаменателе дроби:$\cos C = \frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.