Номер 21.26, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.26. Найдите угол C остроугольного треугольника ABC, если расстояние от вершины C до ортоцентра треугольника равно радиусу описанной окружности.

21.26. Найдите угол $C$ остроугольного треугольника $ABC$, если расстояние от вершины $C$ до ортоцентра треугольника равно радиусу описанной окружности.

Пусть $H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$, а $R$ — радиус его описанной окружности. По условию, расстояние от вершины $C$ до ортоцентра $H$ равно радиусу описанной окружности, то есть $CH = R$.

В геометрии известно, что расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра связано с радиусом описанной окружности и углом при этой вершине. Для остроугольного треугольника эта зависимость выражается формулой:

$CH = 2R \cdot \cos(C)$

Доказательство формулы:

Пусть $O$ — центр описанной окружности. Проведем высоту $AD$ из вершины $A$ на сторону $BC$. Проведем диаметр $CK$ описанной окружности. Тогда $CK = 2R$.

Рассмотрим треугольник $AKC$. Так как он вписан в окружность и $CK$ является диаметром, то угол $\angle KAC = 90^\circ$. Следовательно, $AK \perp AC$.

Пусть $BE$ — высота, проведенная из вершины $B$ на сторону $AC$. По определению высоты, $BE \perp AC$.

Из того, что $AK \perp AC$ и $BE \perp AC$, следует, что прямые $AK$ и $BE$ параллельны ($AK \parallel BE$).

Аналогично, рассмотрим треугольник $KBC$. Угол $\angle KBC = 90^\circ$, так как он опирается на диаметр $CK$. Следовательно, $KB \perp BC$.

Высота $AD$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AD \perp BC$).

Из того, что $KB \perp BC$ и $AD \perp BC$, следует, что прямые $KB$ и $AD$ параллельны ($KB \parallel AD$).

Рассмотрим четырехугольник $AKBH$. Его противолежащие стороны попарно параллельны ($AK \parallel BH$ и $KB \parallel AH$), значит, $AKBH$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно, $AH = KB$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $KBC$. Углы $\angle CKB$ и $\angle CAB$ (угол $A$) опираются на одну и ту же дугу $CB$, значит, они равны: $\angle CKB = \angle A$. Из треугольника $KBC$ находим $KB = CK \cdot \cos(\angle CKB) = 2R \cdot \cos(A)$.

Таким образом, мы доказали, что $AH = 2R \cos(A)$. По аналогии для других вершин можно доказать, что $BH = 2R \cos(B)$ и $CH = 2R \cos(C)$.

Решение задачи:

Теперь мы можем использовать доказанную формулу $CH = 2R \cos(C)$ и условие задачи $CH = R$.

Приравняем правые части этих выражений:

$R = 2R \cos(C)$

Поскольку радиус описанной окружности $R$ не может быть равен нулю ($R > 0$), мы можем сократить обе части уравнения на $R$:

$1 = 2 \cos(C)$

Отсюда выражаем $\cos(C)$:

$\cos(C) = \frac{1}{2}$

По условию, треугольник $ABC$ является остроугольным, а это значит, что все его углы острые, в том числе и угол $C$ ($0^\circ < C < 90^\circ$). В этом диапазоне уравнение $\cos(C) = \frac{1}{2}$ имеет единственное решение:

$C = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.