Номер 21.23, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.23. Докажите, что углы $ABC$ и $DEF$, изображённые на рисунке 21.6, равны.

Рис. 21.6

21.23. Докажите, что углы $ABC$ и $DEF$, изображённые на рисунке 21.6, равны.

Рис. 21.6

Для доказательства равенства углов $ \angle ABC $ и $ \angle DEF $ воспользуемся координатной сеткой. Примем сторону одной клетки за единицу длины. Мы можем доказать равенство углов несколькими способами.

Способ 1: Через тангенсы углов

Этот способ основан на нахождении тангенсов углов с помощью достроения до прямоугольных треугольников или через угловые коэффициенты прямых.

1. Найдем тангенс угла $ \angle ABC $.
Луч $ BA $ является горизонтальным. Достроим из точки $ C $ перпендикуляр на прямую, содержащую луч $ BA $. Получим прямоугольный треугольник, у которого катет, противолежащий углу $ \angle ABC $, равен 1 (вертикальное смещение точки $ C $ относительно $ B $), а прилежащий катет равен 3 (горизонтальное смещение).
Таким образом, тангенс угла $ \angle ABC $ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$ \tan(\angle ABC) = \frac{1}{3} $

2. Найдем тангенс угла $ \angle DEF $.
Этот угол не привязан к горизонтальной или вертикальной линии, поэтому найдем угловые коэффициенты (тангенсы углов наклона) лучей $ ED $ и $ EF $. Введем систему координат с началом в точке $ E $.
Тогда точка $ D $ будет иметь координаты $ (2, -2) $.
Точка $ F $ будет иметь координаты $ (1, -2) $.
Угловой коэффициент прямой $ ED $ (обозначим $ k_1 $): $ k_1 = \frac{-2 - 0}{2 - 0} = -1 $.
Угловой коэффициент прямой $ EF $ (обозначим $ k_2 $): $ k_2 = \frac{-2 - 0}{1 - 0} = -2 $.
Тангенс угла $ \theta $ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $ k_1 $ и $ k_2 $ вычисляется по формуле:
$ \tan(\theta) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| $
Подставим наши значения:
$ \tan(\angle DEF) = \left| \frac{-2 - (-1)}{1 + (-1)(-2)} \right| = \left| \frac{-1}{1 + 2} \right| = \left| \frac{-1}{3} \right| = \frac{1}{3} $

3. Сравнение.
Мы получили, что $ \tan(\angle ABC) = \frac{1}{3} $ и $ \tan(\angle DEF) = \frac{1}{3} $. Поскольку оба угла на рисунке острые (меньше 90°), а их тангенсы равны, то и сами углы равны.
Следовательно, $ \angle ABC = \angle DEF $.

Ответ: Равенство углов доказано, так как их тангенсы равны $ \frac{1}{3} $, и оба угла являются острыми.

Способ 2: Через скалярное произведение векторов

Этот способ использует определение угла между векторами через их скалярное произведение.

1. Найдем косинус угла $ \angle ABC $.
Введем систему координат так, чтобы вершина угла, точка $ B $, находилась в начале координат $ (0, 0) $.
Из рисунка определяем координаты точек $ A $ и $ C $. Пусть точка $ A $ имеет координаты $ (2, 0) $, а точка $ C $ — $ (3, 1) $.
Найдем векторы, образующие угол: $ \vec{BA} $ и $ \vec{BC} $.
$ \vec{BA} = (2-0, 0-0) = (2, 0) $
$ \vec{BC} = (3-0, 1-0) = (3, 1) $
Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:
$ \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} $
Скалярное произведение: $ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot 3 + 0 \cdot 1 = 6 $.
Длины векторов: $ |\vec{BA}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 $ и $ |\vec{BC}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} $.
$ \cos(\angle ABC) = \frac{6}{2 \cdot \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} $

2. Найдем косинус угла $ \angle DEF $.
Аналогично, введем систему координат с началом в точке $ E(0, 0) $.
Из рисунка определяем координаты точек $ D $ и $ F $.
Точка $ D $ имеет координаты $ (2, -2) $.
Точка $ F $ имеет координаты $ (1, -2) $.
Найдем векторы $ \vec{ED} $ и $ \vec{EF} $.
$ \vec{ED} = (2-0, -2-0) = (2, -2) $
$ \vec{EF} = (1-0, -2-0) = (1, -2) $
Вычислим косинус угла $ \angle DEF $:
$ \cos(\angle DEF) = \frac{\vec{ED} \cdot \vec{EF}}{|\vec{ED}| \cdot |\vec{EF}|} $
Скалярное произведение: $ \vec{ED} \cdot \vec{EF} = 2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) = 2 + 4 = 6 $.
Длины векторов: $ |\vec{ED}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $ и $ |\vec{EF}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} $.
$ \cos(\angle DEF) = \frac{6}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} $

3. Сравнение.
Мы получили, что $ \cos(\angle ABC) = \frac{3}{\sqrt{10}} $ и $ \cos(\angle DEF) = \frac{3}{\sqrt{10}} $. Поскольку косинусы углов равны, а сами углы, судя по рисунку, лежат в диапазоне от 0° до 180°, то углы равны.
Следовательно, $ \angle ABC = \angle DEF $.

Ответ: Равенство углов доказано, так как косинусы этих углов равны $ \frac{3}{\sqrt{10}} $.