Номер 21.16, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.16. Докажите, что тангенсы острых углов прямоугольного треугольника являются взаимно обратными числами.

21.16. Докажите, что тангенсы острых углов прямоугольного треугольника являются взаимно обратными числами.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Обозначим острые углы этого треугольника как $\alpha$ и $\beta$. Пусть угол $\alpha$ находится напротив катета $a$, а угол $\beta$ — напротив катета $b$.

По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Для острого угла $\alpha$:
Противолежащий катет — $a$.
Прилежащий катет — $b$.
Следовательно, $\tan \alpha = \frac{a}{b}$.

Для острого угла $\beta$:
Противолежащий катет — $b$.
Прилежащий катет — $a$.
Следовательно, $\tan \beta = \frac{b}{a}$.

Два числа являются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Найдем произведение тангенсов углов $\alpha$ и $\beta$:
$\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$.

Поскольку произведение тангенсов острых углов прямоугольного треугольника равно 1, эти числа являются взаимно обратными, что и требовалось доказать.

Ответ:
Тангенсы острых углов прямоугольного треугольника являются взаимно обратными числами, так как если один тангенс равен отношению катетов $\frac{a}{b}$, то другой тангенс будет равен $\frac{b}{a}$, а произведение этих двух чисел равно $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$.