Номер 21.10, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.10. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.

21.10. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а высота, проведённая к основанию, – 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 17 см — боковые стороны, а AC — основание. Проведем высоту BH к основанию AC. По условию, $BH = 8$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это означает, что она делит основание AC пополам в точке H. Таким образом, высота BH делит равнобедренный треугольник ABC на два равных прямоугольных треугольника: ABH и CBH. Рассмотрим один из них, например, треугольник ABH, в котором $\angle AHB = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике ABH:

- гипотенуза $AB = 17$ см (боковая сторона исходного треугольника);

- катет $BH = 8$ см (высота);

- катет AH — половина основания.

По теореме Пифагора найдем длину катета AH:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$AH^2 = AB^2 - BH^2$

$AH^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$AH = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдем тригонометрические функции для угла при основании треугольника, то есть для угла BAC (обозначим его как $\alpha$). В прямоугольном треугольнике ABH это угол BAH.

Синус угла при основании

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (BH) к гипотенузе (AB).

$\sin(\alpha) = \frac{BH}{AB} = \frac{8}{17}$

Ответ: $\frac{8}{17}$.

Косинус угла при основании

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета (AH) к гипотенузе (AB).

$\cos(\alpha) = \frac{AH}{AB} = \frac{15}{17}$

Ответ: $\frac{15}{17}$.

Тангенс угла при основании

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (BH) к прилежащему катету (AH).

$\tan(\alpha) = \frac{BH}{AH} = \frac{8}{15}$

Ответ: $\frac{8}{15}$.

Котангенс угла при основании

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета (AH) к противолежащему катету (BH).

$\cot(\alpha) = \frac{AH}{BH} = \frac{15}{8}$

Ответ: $\frac{15}{8}$.