Номер 21.7, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.7. Найдите $sin\alpha$, $tg\alpha$ и $ctg\alpha$, если $cos\alpha = \frac{1}{3}$.

21.7. Найдите $\sin \alpha$, $\operatorname{tg} \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{1}{3}$.

Для нахождения $ \sin \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $ по известному значению $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $ будем использовать основные тригонометрические тождества. Поскольку $ \cos \alpha > 0 $, угол $ \alpha $ находится в I или IV координатной четверти. Это означает, что для искомых величин будет по два возможных значения (с противоположными знаками).

sin α
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Выразим из него $ \sin^2 \alpha $:
$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $
Подставим известное значение $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $:
$ \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:
$ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} $.
Ответ: $ \sin \alpha = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} $

tg α
Тангенс определяется по формуле $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
Поскольку у нас есть два возможных значения для $ \sin \alpha $, мы получим два соответствующих значения для $ \operatorname{tg} \alpha $:
$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 3 = \pm 2\sqrt{2} $.
Знак $ \operatorname{tg} \alpha $ совпадает со знаком $ \sin \alpha $, так как $ \cos \alpha $ положителен.
Ответ: $ \operatorname{tg} \alpha = \pm 2\sqrt{2} $

ctg α
Котангенс можно найти как величину, обратную тангенсу: $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} $.
Подставим найденные значения $ \operatorname{tg} \alpha $:
$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\pm 2\sqrt{2}} = \pm\frac{1}{2\sqrt{2}} $.
Для избавления от иррациональности в знаменателе домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:
$ \operatorname{ctg} \alpha = \pm\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \pm\frac{\sqrt{2}}{4} $.
Знак $ \operatorname{ctg} \alpha $ также совпадает со знаком $ \sin \alpha $.
Ответ: $ \operatorname{ctg} \alpha = \pm\frac{\sqrt{2}}{4} $