Номер 21.9, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.9. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию.

21.9. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, основание $AC = 24$ см, а боковые стороны $AB = BC = 13$ см. Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Это означает, что точка $H$ — середина основания $AC$. Следовательно, длина отрезка $AH$ равна половине длины основания:

$AH = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

Высота $BH$ перпендикулярна основанию $AC$, поэтому треугольник $ABH$ — прямоугольный, где $AB$ — гипотенуза, а $AH$ и $BH$ — катеты.

Найдём длину высоты $BH$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$BH = \sqrt{25} = 5$ см.

Нам нужно найти тригонометрические функции угла между боковой стороной ($AB$) и высотой, проведённой к основанию ($BH$). Этот угол — $\angle ABH$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ для угла $\angle ABH$:

• противолежащий катет — $AH = 12$ см;
• прилежащий катет — $BH = 5$ см;
• гипотенуза — $AB = 13$ см.

Синус
Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB} = \frac{12}{13}$.
Ответ: $\frac{12}{13}$.

Косинус
Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
$\cos(\angle ABH) = \frac{BH}{AB} = \frac{5}{13}$.
Ответ: $\frac{5}{13}$.

Тангенс
Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
$\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH} = \frac{12}{5}$.
Ответ: $\frac{12}{5}$.

Котангенс
Котангенс угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
$\cot(\angle ABH) = \frac{BH}{AH} = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$.