Номер 21.4, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.4. Найдите значение выражения:

1) $\cos^2 30^\circ - \sin^2 45^\circ;$

2) $3\tan^2 30^\circ + 4\tan 45^\circ + \cos 30^\circ \ctg 30^\circ.$

21.4. Найдите значение выражения:

1) $\cos^2 30^\circ - \sin^2 45^\circ$;

2) $3\tan^2 30^\circ + 4\tan 45^\circ + \cos 30^\circ \cot 30^\circ$.

1) Для того чтобы найти значение выражения $cos^2 30^\circ - sin^2 45^\circ$, необходимо использовать известные значения тригонометрических функций для углов 30° и 45°.

Значения из таблицы тригонометрических функций:

• $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$cos^2 30^\circ - sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

Теперь возведем каждое слагаемое в квадрат:

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}$

$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Выполним вычитание полученных значений:

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3-2}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) Для нахождения значения выражения $3tg^2 30^\circ + 4tg 45^\circ + cos 30^\circ ctg 30^\circ$ также воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

Значения, которые нам понадобятся:

• $tg(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
• $tg(45^\circ) = 1$
• $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $ctg(30^\circ) = \sqrt{3}$

Рассчитаем значение каждого слагаемого в выражении по отдельности.

Первое слагаемое: $3tg^2 30^\circ = 3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

Второе слагаемое: $4tg 45^\circ = 4 \cdot 1 = 4$.

Третье слагаемое: $cos 30^\circ \cdot ctg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь сложим полученные результаты:

$1 + 4 + \frac{3}{2} = 5 + \frac{3}{2}$

Приведем к общему знаменателю:

$5 + \frac{3}{2} = \frac{10}{2} + \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$

Можно также представить ответ в виде десятичной дроби: $\frac{13}{2} = 6,5$.

Ответ: $\frac{13}{2}$.