Номер 20.48, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.48. На гипотенузе $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $N$ так, что $\angle MCN = 45^\circ$ ($AM < AN$).

Докажите, что $AM^2 + BN^2 = MN^2$.

20.48. На гипотенузе $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $N$ так, что $\angle{MCN} = 45^\circ$ ($AM < AN$).

Докажите, что $AM^2 + BN^2 = MN^2$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, его катеты равны ($AC=BC$), а углы при гипотенузе составляют $45^\circ$ ($\angle CAB = \angle CBA = 45^\circ$).

Для доказательства воспользуемся методом поворота. Выполним поворот треугольника $ACM$ вокруг точки $C$ на угол $90^\circ$ против часовой стрелки. При таком повороте, так как $AC=BC$ и $\angle ACB = 90^\circ$, вершина $A$ перейдет в вершину $B$. Обозначим образ точки $M$ как $M'$. Тогда треугольник $ACM$ отобразится на равный ему треугольник $BCM'$.

Из равенства треугольников $\triangle ACM$ и $\triangle BCM'$ следует, что $AM = BM'$, $CM = CM'$ и $\angle ACM = \angle BCM'$.

Рассмотрим угол $\angle M'CN$. Он равен сумме углов $\angle BCM'$ и $\angle BCN$: $\angle M'CN = \angle BCM' + \angle BCN$. Используя равенство $\angle ACM = \angle BCM'$, полученное из поворота, получаем: $\angle M'CN = \angle ACM + \angle BCN$. Угол $\angle ACB$ равен сумме углов $\angle ACM$, $\angle MCN$ и $\angle BCN$. По условию $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle MCN = 45^\circ$. Тогда $90^\circ = \angle ACM + 45^\circ + \angle BCN$, откуда следует, что $\angle ACM + \angle BCN = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, $\angle M'CN = 45^\circ$.

Теперь сравним треугольники $MCN$ и $M'CN$. Сторона $CM$ равна стороне $CM'$ (из поворота), сторона $CN$ является общей, а углы $\angle MCN$ и $\angle M'CN$ оба равны $45^\circ$. Таким образом, $\triangle MCN \cong \triangle M'CN$ по двум сторонам и углу между ними. Из этого следует равенство их третьих сторон: $MN = M'N$.

Наконец, рассмотрим треугольник $BM'N$. Найдем угол $\angle NBM'$. Он складывается из двух углов: $\angle NBC$ (который является $\angle ABC$ и равен $45^\circ$) и $\angle CBM'$. Угол $\angle CBM'$ равен углу $\angle CAM$ в силу поворота, поэтому он также равен $45^\circ$. Значит, $\angle NBM' = \angle ABC + \angle CBM' = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $BM'N$ — прямоугольный.

Применим к прямоугольному треугольнику $BM'N$ теорему Пифагора: $BM'^2 + BN^2 = M'N^2$. Заменив $BM'$ на $AM$ и $M'N$ на $MN$ (на основании равенств, доказанных ранее), получим искомое тождество: $AM^2 + BN^2 = MN^2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: $AM^2 + BN^2 = MN^2$.