Номер 20.42, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.42. Докажите, что для любой точки $X$ окружности, описанной около прямоугольника $ABCD$, сумма $XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2$ является величиной постоянной.

20.42. Докажите, что для любой точки X окружности, описанной около прямоугольника ABCD, сумма $XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2$ является величиной постоянной.

Пусть $O$ — центр прямоугольника $ABCD$, который также является центром описанной около него окружности. Обозначим радиус этой окружности через $R$.

Пусть $X$ — произвольная точка на этой окружности. Нам нужно доказать, что сумма $S = XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2$ является постоянной величиной.

Сгруппируем слагаемые в сумме следующим образом:

$S = (XA^2 + XC^2) + (XB^2 + XD^2)$

Рассмотрим треугольник $AXC$. Так как $O$ — середина диагонали $AC$, отрезок $XO$ является медианой этого треугольника. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма или, что эквивалентно, по формуле для длины медианы, для треугольника $AXC$ справедливо равенство:

$XA^2 + XC^2 = 2(XO^2 + AO^2)$

Аналогично, рассмотрим треугольник $BXD$. Так как $O$ — середина диагонали $BD$, отрезок $XO$ является медианой этого треугольника. Для него справедливо равенство:

$XB^2 + XD^2 = 2(XO^2 + BO^2)$

Подставим полученные выражения обратно в формулу для суммы $S$:

$S = 2(XO^2 + AO^2) + 2(XO^2 + BO^2) = 4XO^2 + 2AO^2 + 2BO^2$

По определению описанной окружности, все ее точки находятся на одинаковом расстоянии (равном радиусу $R$) от центра $O$.

Поскольку точка $X$ лежит на окружности, то расстояние от нее до центра $O$ равно радиусу: $XO = R$.

Поскольку вершины прямоугольника $A$ и $B$ также лежат на этой окружности, то их расстояния до центра $O$ также равны радиусу: $AO = R$ и $BO = R$.

Подставим эти значения в выражение для $S$:

$S = 4R^2 + 2R^2 + 2R^2 = 8R^2$

Радиус $R$ описанной окружности для заданного прямоугольника $ABCD$ является постоянной величиной (он равен половине длины диагонали прямоугольника). Следовательно, и величина $8R^2$ является постоянной.

Таким образом, для любой точки $X$ на окружности, описанной около прямоугольника $ABCD$, сумма $XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2$ является постоянной величиной, равной $8R^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма $XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2$ является величиной постоянной.