Номер 20.40, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.40. Медианы $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ перпендикулярны. Найдите стороны треугольника, если $AM = 9$ см и $CK = 12$ см.

20.40. Медианы $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ перпендикулярны. Найдите стороны треугольника, если $AM = 9$ см и $CK = 12$ см.

Пусть медианы $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Согласно свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Для медианы $AM = 9$ см, длины ее отрезков равны:
$AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.
$OM = \frac{1}{3} AM = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.

Для медианы $CK = 12$ см, длины ее отрезков равны:
$CO = \frac{2}{3} CK = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.
$OK = \frac{1}{3} CK = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.

По условию задачи, медианы $AM$ и $CK$ перпендикулярны, следовательно, угол между ними в точке пересечения $O$ равен 90° ($AM \perp CK$). Это означает, что треугольники $\triangle AOC$, $\triangle AOK$ и $\triangle MOC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $O$.

Для нахождения сторон треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой Пифагора.

1. Найдем сторону $AC$. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle AOC$, катетами которого являются отрезки $AO = 6$ см и $CO = 8$ см.
$AC^2 = AO^2 + CO^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Найдем сторону $AB$. Поскольку $CK$ является медианой, точка $K$ — середина стороны $AB$, а значит $AB = 2 \cdot AK$. Длину отрезка $AK$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle AOK$, где $AK$ является гипотенузой, а $AO = 6$ см и $OK = 4$ см — катетами.
$AK^2 = AO^2 + OK^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$.
$AK = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.
Следовательно, $AB = 2 \cdot 2\sqrt{13} = 4\sqrt{13}$ см.

3. Найдем сторону $BC$. Поскольку $AM$ является медианой, точка $M$ — середина стороны $BC$, а значит $BC = 2 \cdot MC$. Длину отрезка $MC$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle MOC$, где $MC$ является гипотенузой, а $OM = 3$ см и $CO = 8$ см — катетами.
$MC^2 = OM^2 + CO^2 = 3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.
$MC = \sqrt{73}$ см.
Следовательно, $BC = 2 \cdot \sqrt{73} = 2\sqrt{73}$ см.

Ответ: стороны треугольника равны $10$ см, $4\sqrt{13}$ см и $2\sqrt{73}$ см.