Номер 20.45, страница 150 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.45. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Касательная к этой окружности, проведённая в точке $B$, перпендикулярна стороне $AC$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 20$ см, $BC = 15$ см.

20.45. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Касательная к этой окружности, проведённая в точке $B$, перпендикулярна стороне $AC$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 20$ см, $BC = 15$ см.

Пусть дана окружность, описанная около треугольника $ABC$. Пусть $l$ — касательная к этой окружности в точке $B$. По условию задачи, касательная $l$ перпендикулярна стороне $AC$.

Пусть $O$ — центр описанной окружности. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае радиус $OB$ перпендикулярен касательной $l$.

Таким образом, мы имеем два утверждения:

1. $OB \perp l$ (свойство радиуса и касательной)
2. $AC \perp l$ (по условию задачи)

Если две прямые ($OB$ и $AC$) перпендикулярны одной и той же третьей прямой ($l$), то они параллельны между собой. Следовательно, $OB \parallel AC$.

Воспользуемся теоремой Аполлония для треугольника $ABC$ и медианы $BM$, проведенной к стороне $AC$ (где $M$ — середина $AC$):$AB^2 + BC^2 = 2(BM^2 + AM^2)$

Теперь выразим длины медианы $BM$ и половины стороны $AM$ через радиус описанной окружности $R$ и сторону $AC$.Поскольку $O$ — центр описанной окружности, $OM$ является высотой в равнобедренном треугольнике $AOC$ ($OA=OC=R$), поэтому $OM \perp AC$.Так как $OB \parallel AC$ и $OM \perp AC$, то $OM \perp OB$. Таким образом, треугольник $BOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

По теореме Пифагора для треугольника $BOM$:$BM^2 = OB^2 + OM^2$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$. По теореме Пифагора:$OA^2 = OM^2 + AM^2$$R^2 = OM^2 + AM^2 \implies OM^2 = R^2 - AM^2$

Подставим выражение для $OM^2$ в формулу для $BM^2$:$BM^2 = OB^2 + (R^2 - AM^2) = R^2 + R^2 - AM^2 = 2R^2 - AM^2$

Теперь подставим это выражение для $BM^2$ в формулу теоремы Аполлония:$AB^2 + BC^2 = 2((2R^2 - AM^2) + AM^2)$$AB^2 + BC^2 = 2(2R^2)$$AB^2 + BC^2 = 4R^2$

Подставим известные значения $AB = 20$ см и $BC = 15$ см:$20^2 + 15^2 = 4R^2$$400 + 225 = 4R^2$$625 = 4R^2$Отсюда находим радиус описанной окружности:$R^2 = \frac{625}{4} \implies R = \sqrt{\frac{625}{4}} = \frac{25}{2} = 12.5$ см.

Теперь найдем сторону $AC$. Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ABC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

Чтобы найти $\cos(\angle ABC)$, рассмотрим углы $\angle OBA$ и $\angle OBC$. Треугольники $OAB$ и $OBC$ являются равнобедренными ($OA=OB=R$ и $OC=OB=R$). В равнобедренном треугольнике $OAB$ косинус угла при основании $B$ можно найти как отношение половины основания $AB$ к боковой стороне $OB$:$\cos(\angle OBA) = \frac{AB/2}{R} = \frac{20/2}{12.5} = \frac{10}{12.5} = \frac{100}{125} = \frac{4}{5}$

Аналогично для треугольника $OBC$:$\cos(\angle OBC) = \frac{BC/2}{R} = \frac{15/2}{12.5} = \frac{7.5}{12.5} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5}$

Из того, что $OB \parallel AC$, следует, что центр окружности $O$ и вершина $B$ лежат по одну сторону от прямой $AC$. Это означает, что угол $\angle ABC$ является разностью углов $\angle OBA$ и $\angle OBC$ (или наоборот, в зависимости от расположения).$\angle ABC = |\angle OBA - \angle OBC|$Тогда $\cos(\angle ABC) = \cos(|\angle OBA - \angle OBC|) = \cos(\angle OBA - \angle OBC)$.Используем формулу косинуса разности:$\cos(\angle ABC) = \cos(\angle OBA)\cos(\angle OBC) + \sin(\angle OBA)\sin(\angle OBC)$

Найдем синусы углов:$\sin(\angle OBA) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle OBA)} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$\sin(\angle OBC) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle OBC)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

Подставляем значения в формулу для косинуса $\angle ABC$:$\cos(\angle ABC) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$

Наконец, подставляем все значения в теорему косинусов для нахождения $AC$:$AC^2 = 20^2 + 15^2 - 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot \frac{24}{25}$$AC^2 = 400 + 225 - 600 \cdot \frac{24}{25}$$AC^2 = 625 - \frac{600}{25} \cdot 24 = 625 - 24 \cdot 24$$AC^2 = 625 - 576 = 49$$AC = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.