Вопросы, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Что называют синусом острого угла прямоугольного треугольника?

2. Что называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

3. Что называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

4. Что называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

5. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

6. Чему равен $\cos (90^\circ - \alpha)$, $\sin (90^\circ - \alpha)$, $\operatorname{tg} (90^\circ - \alpha)$, $\operatorname{ctg} (90^\circ - \alpha)$?

7. От чего зависят синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

1. Что называют синусом острого угла прямоугольного треугольника?

2. Что называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

3. Что называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

4. Что называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

5. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

6. Чему равен $ \cos (90^\circ - \alpha), \sin (90^\circ - \alpha), \tg (90^\circ - \alpha), \ctg (90^\circ - \alpha)? $

7. От чего зависят синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

1. Что называют синусом острого угла прямоугольного треугольника?

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы.

Если в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $a$, а гипотенуза равна $c$, то синус этого угла вычисляется по формуле:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Ответ: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Что называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.

Если в прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $b$, а гипотенуза равна $c$, то косинус этого угла вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$

Ответ: Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Что называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Если катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $a$, а катет, прилежащий к этому углу, равен $b$, то тангенс угла $\alpha$ вычисляется по формуле:

$\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$

Также тангенс можно определить как отношение синуса угла к его косинусу: $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

Ответ: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

4. Что называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета.

Если катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $b$, а катет, противолежащий этому углу, равен $a$, то котангенс угла $\alpha$ вычисляется по формуле:

$\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a}$

Котангенс является величиной, обратной тангенсу: $\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Ответ: Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

5. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

Основным тригонометрическим тождеством называют равенство, которое связывает синус и косинус одного и того же угла. Оно утверждает, что для любого угла $\alpha$ сумма квадратов его синуса и косинуса равна единице.

Формула основного тригонометрического тождества:

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

Это тождество является следствием теоремы Пифагора. Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ справедливо равенство $a^2 + b^2 = c^2$. Разделив обе части на $c^2$, получаем $(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = 1$. Учитывая, что $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$ и $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$ для соответствующего угла, мы приходим к основному тригонометрическому тождеству.

Ответ: Основным тригонометрическим тождеством называют равенство $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

6. Чему равен $\cos(90^\circ - \alpha)$, $\sin(90^\circ - \alpha)$, $\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)$, $\operatorname{ctg}(90^\circ - \alpha)$?

Данные выражения определяются формулами приведения, которые связывают тригонометрические функции комплементарных углов (углов, сумма которых равна $90^\circ$). В прямоугольном треугольнике два острых угла являются комплементарными. Пусть один угол равен $\alpha$, тогда второй равен $90^\circ - \alpha$.

Справедливы следующие равенства:

1. Косинус $(90^\circ - \alpha)$ равен синусу $\alpha$: $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

2. Синус $(90^\circ - \alpha)$ равен косинусу $\alpha$: $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$.

3. Тангенс $(90^\circ - \alpha)$ равен котангенсу $\alpha$: $\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$.

4. Котангенс $(90^\circ - \alpha)$ равен тангенсу $\alpha$: $\operatorname{ctg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$.

Ответ: $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$, $\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$, $\operatorname{ctg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$.

7. От чего зависят синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Значения тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) зависят только от величины самого угла.

Хотя в геометрии эти функции вводятся как отношения сторон прямоугольного треугольника, эти отношения для заданного острого угла всегда одинаковы, независимо от размеров треугольника. Это связано с тем, что все прямоугольные треугольники с одним и тем же острым углом подобны друг другу. В подобных треугольниках отношения длин соответствующих сторон равны. Таким образом, тригонометрические функции определяются исключительно углом, а не длинами сторон конкретного треугольника.

Ответ: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины этого угла.