Номер 21.3, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.3. Найдите значение выражения:

1) $\cos^2 45^\circ + \tan^2 60^\circ;$

2) $2\cos^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \cot 60^\circ.$

21.3. Найдите значение выражения:

1) $\cos^2 45^\circ + \text{tg}^2 60^\circ$;

2) $2\cos^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \text{ctg} 60^\circ$.

1) Чтобы найти значение выражения $\cos^2 45^\circ + \tg^2 60^\circ$, необходимо использовать табличные значения тригонометрических функций для углов $45^\circ$ и $60^\circ$.
Нам известны следующие значения:
$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tg 60^\circ = \sqrt{3}$
Подставим эти значения в исходное выражение, помня, что запись $\cos^2 \alpha$ означает $(\cos \alpha)^2$:
$\cos^2 45^\circ + \tg^2 60^\circ = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\sqrt{3})^2$
Теперь выполним вычисления:
$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$(\sqrt{3})^2 = 3$
Сложим полученные результаты:
$\frac{1}{2} + 3 = 3\frac{1}{2} = 3,5$
Ответ: $3,5$.

2) Для нахождения значения выражения $2\cos^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \ctg 60^\circ$ нам потребуются значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $60^\circ$.
Табличные значения:
$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\ctg 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Подставим эти значения в выражение:
$2\cos^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \ctg 60^\circ = 2 \cdot (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$
Выполним действия по порядку:
$2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$
Приведем дроби к общему знаменателю или упростим:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$
Сложим первые и последние слагаемые:
$(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$.