Номер 21.8, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.8. Найдите $ \cos \beta $, $ \operatorname{tg} \beta $ и $ \operatorname{ctg} \beta $, если $ \sin \beta = \frac{4}{5} $.

21.8. Найдите $ \cos\beta $, $ \operatorname{tg}\beta $ и $ \operatorname{ctg}\beta $, если $ \sin\beta = \frac{4}{5} $.

Для решения этой задачи мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и определениями тангенса и котангенса. Так как по условию $sin\beta = \frac{4}{5}$, что является положительным значением, угол $\beta$ может находиться либо в I, либо во II координатной четверти. В зависимости от этого знаки $cos\beta$, $tg\beta$ и $ctg\beta$ будут различаться. Поэтому задача имеет два возможных набора решений.

cos β

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

Выразим из него $cos^2\beta$:

$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$

Подставим известное значение $sin\beta = \frac{4}{5}$:

$cos^2\beta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $cos\beta$:

$cos\beta = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$

Таким образом, мы имеем два возможных значения для косинуса:

• Если угол $\beta$ находится в I четверти, то $cos\beta > 0$, и $cos\beta = \frac{3}{5}$.
• Если угол $\beta$ находится во II четверти, то $cos\beta < 0$, и $cos\beta = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $cos\beta = \frac{3}{5}$ или $cos\beta = -\frac{3}{5}$.

tg β

Тангенс угла определяется по формуле $tg\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta}$. Найдем его значение для каждого из возможных случаев.

Случай 1: $cos\beta = \frac{3}{5}$

$tg\beta = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$

Случай 2: $cos\beta = -\frac{3}{5}$

$tg\beta = \frac{4/5}{-3/5} = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{5}{3}) = -\frac{4}{3}$

Ответ: $tg\beta = \frac{4}{3}$ или $tg\beta = -\frac{4}{3}$.

ctg β

Котангенс угла можно найти по формуле $ctg\beta = \frac{cos\beta}{sin\beta}$ или $ctg\beta = \frac{1}{tg\beta}$. Воспользуемся второй формулой.

Случай 1: $tg\beta = \frac{4}{3}$

$ctg\beta = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$

Случай 2: $tg\beta = -\frac{4}{3}$

$ctg\beta = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $ctg\beta = \frac{3}{4}$ или $ctg\beta = -\frac{3}{4}$.