Номер 21.13, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.13. В равнобокой трапеции $ABCD$ $AB = CD = 9$ см, $BC = 10$ см, $AD = 14$ см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла $A$ трапеции.

21.13. В равнобокой трапеции $ABCD$ $AB = CD = 9$ см, $BC = 10$ см, $AD = 14$ см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла $A$ трапеции.

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Известны длины сторон: боковые стороны $AB = CD = 9$ см, меньшее основание $BC = 10$ см, большее основание $AD = 14$ см.

Для нахождения тригонометрических функций угла $A$ проведём высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$. В результате получим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$, где $\angle BAH$ — это искомый угол $A$.

В равнобокой трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, равен полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим известные значения:

$AH = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ известны гипотенуза $AB = 9$ см и катет $AH = 2$ см. По теореме Пифагора найдём второй катет $BH$ (высоту трапеции):

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 9^2 - 2^2 = 81 - 4 = 77$

$BH = \sqrt{77}$ см.

Теперь, зная все стороны прямоугольного треугольника $\triangle ABH$ (прилежащий катет $AH=2$, противолежащий катет $BH=\sqrt{77}$ и гипотенузу $AB=9$), можем найти тригонометрические функции угла $A$.

Синус угла A

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{77}}{9}$

Ответ: $\sin A = \frac{\sqrt{77}}{9}$.

Косинус угла A

Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\cos A = \frac{2}{9}$.

Тангенс угла A

Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\tan A = \frac{BH}{AH} = \frac{\sqrt{77}}{2}$

Ответ: $\tan A = \frac{\sqrt{77}}{2}$.

Котангенс угла A

Котангенс угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему.

$\cot A = \frac{AH}{BH} = \frac{2}{\sqrt{77}} = \frac{2\sqrt{77}}{77}$ (после избавления от иррациональности в знаменателе)

Ответ: $\cot A = \frac{2\sqrt{77}}{77}$.