Номер 21.15, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.15. Может ли синус угла быть равным: 1) $\sqrt{2}$; 2) $\frac{\sqrt{3}}{3}$?

21.15. Может ли синус угла быть равным: 1) $\sqrt{2}$; 2) $\frac{\sqrt{3}}{3}$?

Значение синуса любого угла $\alpha$ всегда находится в пределах от -1 до 1 включительно. Это фундаментальное свойство тригонометрической функции синус, которое выражается неравенством: $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$. Чтобы ответить на вопрос, необходимо проверить, удовлетворяют ли предложенные значения этому условию.

1) Может ли синус угла быть равным $\sqrt{2}$?
Оценим значение $\sqrt{2}$. Мы знаем, что $2 > 1$. Так как функция квадратного корня возрастающая для положительных чисел, то $\sqrt{2} > \sqrt{1}$, следовательно $\sqrt{2} > 1$.
Поскольку значение $\sqrt{2}$ (приблизительно 1,414) больше 1, оно выходит за пределы допустимого диапазона значений для синуса.
Ответ: нет, не может.

2) Может ли синус угла быть равным $\frac{\sqrt{3}}{3}$?
Оценим значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Чтобы сравнить его с 1, возведем оба положительных числа в квадрат:
$(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{3^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
$1^2 = 1$.
Так как $\frac{1}{3} < 1$, то и $\frac{\sqrt{3}}{3} < 1$.
Поскольку $0 < \frac{\sqrt{3}}{3} < 1$, это значение находится в допустимом промежутке $[-1, 1]$. Следовательно, синус угла может принимать такое значение.
Ответ: да, может.