Номер 21.17, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.17. Докажите тождество:

1) $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$;

2) $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

21.17. Докажите тождество:

1) $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$;

2) $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

1) Для доказательства тождества $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся определением тангенса: $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Подставим это выражение в левую часть тождества:

$1 + \text{tg}^2 \alpha = 1 + \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю $\cos^2 \alpha$:

$1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Подставим это значение в числитель:

$\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

2) Для доказательства тождества $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся определением котангенса: $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Подставим это выражение в левую часть тождества:

$1 + \text{ctg}^2 \alpha = 1 + \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю $\sin^2 \alpha$:

$1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, подставим это значение в числитель:

$\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.