Номер 21.14, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.14. В прямоугольной трапеции $ABCD$ $BC \parallel AD$, $\angle A = 90^\circ$, $AB = 4$ см, $BC = 8$ см, $AD = 12$ см. Найдите углы трапеции, прилежащие к её большей боковой стороне.

21.14. В прямоугольной трапеции $ABCD$ $BC \parallel AD$, $\angle A = 90^\circ$, $AB = 4$ см, $BC = 8$ см, $AD = 12$ см. Найдите углы трапеции, прилежащие к её большей боковой стороне.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой основания $BC \parallel AD$, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Из условия имеем: $\angle A = 90^{\circ}$, $AB = 4$ см, $BC = 8$ см, $AD = 12$ см.

1. Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Так как $AB$ также является высотой трапеции ($AB \perp AD$) и $CH \perp AD$, то $AB \parallel CH$. По условию $BC \parallel AD$, следовательно, $BC \parallel AH$. Таким образом, четырёхугольник $ABCH$ является параллелограммом. Поскольку $\angle A = 90^{\circ}$, то $ABCH$ — прямоугольник.

2. Из свойств прямоугольника следует, что противолежащие стороны равны:
$CH = AB = 4$ см.
$AH = BC = 8$ см.

3. Найдём длину отрезка $HD$ на большем основании $AD$:
$HD = AD - AH = 12 - 8 = 4$ см.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ (так как $CH$ — высота, $\angle CHD = 90^{\circ}$). В этом треугольнике катеты $CH = 4$ см и $HD = 4$ см. Поскольку катеты равны, треугольник $CHD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при гипотенузе в таком треугольнике равны $45^{\circ}$.
Следовательно, угол $D$ трапеции равен $\angle D = \angle CDH = 45^{\circ}$.

5. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ}$. Для боковой стороны $CD$ имеем:
$\angle C + \angle D = 180^{\circ}$.
Отсюда найдём угол $C$:
$\angle C = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.

6. Теперь нужно убедиться, что $CD$ является большей боковой стороной. Сравним длины боковых сторон $AB$ и $CD$. Длина $AB$ нам известна: $AB = 4$ см. Длину $CD$ найдём по теореме Пифагора из треугольника $CHD$:
$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.
$CD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.
Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $4\sqrt{2} > 4$. Следовательно, $CD > AB$, и $CD$ является большей боковой стороной.

Углы, прилежащие к большей боковой стороне $CD$, это $\angle C$ и $\angle D$.

Ответ: $45^{\circ}$ и $135^{\circ}$.