Номер 21.12, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.12. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами, длины которых равны $\sqrt{3}$ см и 3 см.

21.12. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами, длины которых равны $\sqrt{3}$ см и 3 см.

Пусть дан прямоугольник, стороны которого равны $a = \sqrt{3}$ см и $b = 3$ см. Проведем диагональ $d$. Эта диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника $a$ и $b$ являются катетами этих треугольников, а диагональ $d$ — их общей гипотенузой.

Углы, которые диагональ образует со сторонами, являются острыми углами в этих прямоугольных треугольниках. Обозначим эти углы как $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим один из таких треугольников.
Угол $\alpha$ — это угол между диагональю и стороной $b=3$. Противолежащий этому углу катет равен $a = \sqrt{3}$.
Угол $\beta$ — это угол между диагональю и стороной $a=\sqrt{3}$. Противолежащий этому углу катет равен $b = 3$.

Для нахождения углов воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике. Тангенс угла равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Найдем угол $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Значение тангенса, равное $\frac{\sqrt{3}}{3}$, соответствует углу $30^\circ$. Таким образом, $\alpha = 30^\circ$.

Теперь найдем угол $\beta$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Можно также вычислить $\beta$ через тангенс:
$\tan(\beta) = \frac{b}{a} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$
Значение тангенса, равное $\sqrt{3}$, соответствует углу $60^\circ$. Таким образом, $\beta = 60^\circ$.

Итак, углы между диагональю и сторонами прямоугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.