Номер 21.5, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.5. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $BC = 77$ см, $AB = 125$ см. Найдите синусы острых углов треугольника.

21.5. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, $BC = 77$ см, $AB = 125$ см. Найдите синусы острых углов треугольника.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$), катет $BC$ является стороной, противолежащей острому углу $A$, а катет $AC$ — стороной, противолежащей острому углу $B$. Сторона $AB$ является гипотенузой. По условию задачи, длина катета $BC = 77$ см, а длина гипотенузы $AB = 125$ см.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

Для нахождения синуса угла $A$ ($\sin A$) используем отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$:
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{77}{125}$.

Для нахождения синуса угла $B$ ($\sin B$) необходимо найти длину противолежащего катета $AC$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Выразим $AC^2$ из этого уравнения и подставим известные значения:
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 125^2 - 77^2$.

Для удобства вычислений применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$AC^2 = (125 - 77)(125 + 77) = 48 \cdot 202 = 9696$.

Теперь найдем длину катета $AC$, извлекая квадратный корень из полученного значения:
$AC = \sqrt{9696}$.

Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители: $9696 = 16 \cdot 606$.
$AC = \sqrt{16 \cdot 606} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{606} = 4\sqrt{606}$ см.

Теперь, зная длину катета $AC$, мы можем найти синус угла $B$:
$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{4\sqrt{606}}{125}$.

Ответ: $\sin A = \frac{77}{125}$, $\sin B = \frac{4\sqrt{606}}{125}$.