Номер 21.1, страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.1. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 8 см и 10 см. Найдите:

1) синус угла, противолежащего меньшему катету;

2) косинус угла, прилежащего к большему катету;

3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету;

4) котангенс угла, прилежащего к большему катету.

21.1. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 8 см и 10 см. Найдите:

1) синус угла, противолежащего меньшему катету;

2) косинус угла, прилежащего к большему катету;

3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету;

4) котангенс угла, прилежащего к большему катету.

Для решения задачи сначала найдем длину второго катета прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Пусть известный катет равен 8 см, а гипотенуза — 10 см. Найдем второй катет:

$8^2 + b^2 = 10^2$

$64 + b^2 = 100$

$b^2 = 100 - 64 = 36$

$b = \sqrt{36} = 6$ см.

Таким образом, катеты треугольника равны 6 см и 8 см. Меньший катет равен 6 см, а больший — 8 см.

1) синус угла, противолежащего меньшему катету

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Угол, противолежащий меньшему катету (6 см), имеет синус, равный:

$\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{6}{10} = 0.6$

Ответ: $0.6$.

2) косинус угла, прилежащего к большему катету

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Угол, прилежащий к большему катету (8 см), имеет косинус, равный:

$\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{8}{10} = 0.8$

Ответ: $0.8$.

3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла, противолежащего меньшему катету (6 см), противолежащий катет равен 6 см, а прилежащий — 8 см. Тангенс равен:

$\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$

Ответ: $0.75$.

4) котангенс угла, прилежащего к большему катету

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему. Для угла, прилежащего к большему катету (8 см), прилежащий катет равен 8 см, а противолежащий — 6 см. Котангенс равен:

$\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.